2. Les équations de Navier-Stokes
Le chapitre précédent était consacré aux systèmes hyperboliques non linéaires, domaine où la différence entre le comportement des problèmes linéaires et les comportements des problèmes non linéaires apparaît de manière très évidente. Mais ces systèmes présentent les inconvénients suivants :
Il n'existe que des résultats partiels et la plupart des questions restent largement ouvertes.
Les applications concernent surtout la mécanique des fluides compressibles. Les lois de conservation classiques donnent alors un système d'équations qu'il faut compléter par une loi d'état, par exemple p = RρT (pour les gaz parfaits) ; cette loi dépend du modèle considéré et peut être obtenue soit par des arguments physiques, soit (sans qu'aucune justification mathématique ne soit actuellement disponible) à partir de l'équation de Boltzmann (calcul des coefficients de transport par la méthode de Chapman-Enskog, cf. l. boltzmann). On a donc un système qui est toujours compliqué et particulier.
Pour les raisons qui précèdent, l'intérêt s'est porté sur les équations d'Euler ou de Navier-Stokes, qui s'obtiennent en supposant le fluide incompressible mais en considérant éventuellement des termes de viscosité.
Les équations de Navier-Stokes et d'Euler présentent les propriétés suivantes. Elles sont (lorsque le problème est posé dans R2 ou dans R3) invariantes par le groupe des déplacements, les transformations galiléennes :
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