4. Les groupes commutatifs localement compacts
• La mesure de Haar
La démonstration par Haar, en 1933, de l'existence d'une mesure invariante par translation, sur une large classe de groupes topologiques, permet, à partir de cette époque, de situer l'analyse harmonique dans sa vraie perspective et d'en comprendre la nature profonde.
Si on considère, sur R, la mesure de Lebesgue dx, on constate qu'elle est invariante par translation, en ce sens que, pour toute fonction intégrable f et tout réel t, la translatée ft est intégrable et a même intégrale que f. De même, sur le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1, que l'on peut, en ce qui concerne la théorie de la mesure, identifier à l'intervalle [0, 2π], la mesure de Lebesgue est invariante par translation, car, pour toute fonction intégrable f, et tout λ de module 1, on a :
Parmi les groupes topologiques, ceux qui sont localement compacts (cette classe contient, entre autres, les groupes de Lie) possèdent une propriété analogue.
Pour une fonction f définie sur un groupe G, et un élément t du groupe, on considère les translatées tf et ft de f par t, respectivement à gauche et à droite, données par :
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