Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d'étudier de manière efficace leurs propriétés. C'est le cas des fonctions définies comme solutions d'équations fonctionnelles, d'équations différentielles ou intégrales, d'équations aux dérivées partielles, ou encore de problèmes variationnels. Ainsi, les fonctions exponentielles sont les solutions suffisamment régulières de l'équation fonctionnelle f (x + y) = f (x)f (y), ou encore de l'équation différentielle f ′(x) = af (x).
On essaie alors de représenter une telle fonction f sous une forme plus efficace pour l'étude du problème posé (existence et unicité, variation de f, comportement asymptotique, dépendance de paramètres, approximation numérique, prolongement analytique...).
Quelques grandes méthodes se sont progressivement dégagées.
Il s'agit en premier lieu des représentations continues, obtenues à l'aide du calcul intégral. Dès le xvii</ […]
Autres références
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DARBOUX GASTON (1842-1917)
Auteur :
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*Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences (1873-1881), puis professeur…
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique
Auteurs :
Claude BARDOS, Martin ZERNER
Dans le chapitre "Principe des méthodes d'éléments finis" : …
l'espace V des fonctions admissibles par un de ses sous-espaces VN dit « espace d'*approximation ». Si VN est de dimension finie N et que les (ϕi) en sont une base, la solution approchée peut s'écrire : où les coefficients uj sont donnés par le système de N équations…
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DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
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GELFOND ALEXANDRE OSSIPOVITCH (1906-1968)
Auteur :
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*Mathématicien russe, né à Saint-Pétersbourg et mort à Moscou. Le nom de Gelfond reste attaché à l'étude des nombres transcendants ; on lui doit aussi d'importants résultats sur l'interpolation et l'approximation des fonctions de variable complexe. Depuis 1931, Gelfond a enseigné les mathématiques à l'université de Moscou, où il a occupé…
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HAAR ALFRÉD (1885-1933)
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*Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg devint roumain (Cluj Napoca), Haar et Riesz partirent…
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Bibliographie
Représentation des fonctionsJ. Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann, 2e éd. 1980
A. Kolmogorov & S. Fomine, Éléments de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle, M.I.R., Moscou, 1977
W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 3e éd. 1987
E. Whittaker & G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge Univ. Press, New York-Londres, 1969.Approximation des fonctionsC. M. Bender & S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, 1978
P. Davis, Interpolation and Approximation, rééd., Dover Publ., New York, 1975
F. B. Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis, repr. of 1974, ibid., 1987
G. G. Lorentz, Approximation of Functions, 2e éd. 1985
S. B. Steckin, The Approximation of Functions by Polynomials and Splines, American Mathematical Society, Providence (R. I.), 1981
M. Zamansky, Approximation des fonctions, Hermann, Paris, 1985.
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