3. La transformation de Fourier
Certaines classes importantes de fonctions ne se prêtent pas à l'analyse harmonique telle qu'elle a été définie ci-dessus. Ainsi, l'espace L1(R) des (classes de) fonctions intégrables sur R ne contient aucune exponentielle ; aussi utilise-t-on un autre procédé pour en faire l'analyse et la synthèse. C'est la transformation de Fourier qui permet de définir le spectre d'une fonction intégrable et, dans certains cas, d'en faire la synthèse.
Soit f une fonction intégrable (par exemple, continue et nulle hors d'un ensemble borné). À f on associe une autre fonction définie sur R, notée f̂ ou ℱf, et appelée transformée de Fourier de f :
La présence du coefficient − 2π est conventionnelle (la convention n'est d'ailleurs pas universelle) et permet d'avoir une formule de réciprocité particulièrement simple.
Définissons, outre l'opérateur ℱ de transformation de Fourier, l'opérateur ℱ− de transformation de Fourier conjuguée (ou réciproque) :
Pour toute fonction f, et tout réel t, on a :
• Propriétés de la transformation de Fourier
a) Pour toute fonction intégrable f, ℱf est continue et tend vers 0 à l'infini. Si on désigne par A(R) l'ensemble des fonctions ℱf, pour f ∈ L1(R), A(R) est donc un sous-espace de l'espace vectoriel C0(R) des fonctions continues sur R qui tendent vers 0 à l'infini. En fait, A(R) est strictement plus petit que C0(R).b) Si f et […]
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