Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), la théorie des algèbres normées avait primitivement pour objet de placer dans un cadre abstrait et général l'étude de certaines algèbres normées particulières (en l'occurrence, les algèbres de convolution de fonctions intégrables pour une mesure de Haar d'un groupe localement compact) en isolant leurs propriétés les plus marquantes et les plus caractéristiques.
On reconnaît là le processus d'axiomatisation, qui a été si souvent utilisé en mathématiques et qui est si riche de conséquences.
Historiquement issue de l'analyse harmonique (dont l'un des principaux objets est précisément l'étude de l'algèbre de convolution des fonctions intégrables sur un groupe), la théorie des algèbres normées permit par la suite d'obtenir de nouveaux résultats aussi bien en analyse harmonique que dans d'autres branches de l'analyse (cf. analyse harmonique).
1. La notion d'algèbre normée
• Définition
Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d'une structure d'anneau et d'une norme (se reporter à l'article anneaux et algèbres).
Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies :
a) On définit sur A deux lois de composition interne, addition et multiplication, qui munissent A d'une structure d'anneau ;
b) On définit une loi de composition externe, multiplication par les scalaires complexes, qui, jointe à la loi interne d'addition, munit A d'une structure d'espace vectoriel sur C ;
c) Les structures d'anneau et d'espace vectoriel sont compatibles en ce sens que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a et b de A, on a :[…]
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