2. Analyse et synthèse harmoniques
Considérons une fonction f continue, de période 2π, et soit :
Si nous appelons ft la translatée de f par t, définie par ft(x) = f (x − t), nous obtenons :
En considérant l'intégrale comme une limite de sommes finies, on peut dire, de manière peu précise mais imagée, que cneinx (ou aussi bien einx lorsque cn n'est pas nul) est limite de combinaisons linéaires de translatées de f.
Cela nous conduit à la notion d'analyse harmonique et de spectre d'une fonction. Soit E un espace vectoriel topologique de fonctions définies sur l'ensemble R des nombres réels, tel que si f ∈ E et t ∈ R, la translatée ft appartienne à E, avec certaines conditions de continuité ; on suppose, de plus, que toute fonction exponentielle eiλx, λ réel, appartient à E.
On dira qu'un nombre réel λ appartient au spectre d'un élément f de E si la fonction eiλx peut être approchée, au sens de la topologie de E, par des combinaisons linéaires de translatées de f. On note σE(f ), spectre de f dans E, l'ensemble des tels λ (pour une fonction donnée, la notion de spectre peut dépendre de la topologie dont est muni l'espace E).
Le problème de l'analyse harmonique da […]
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