Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925.
Le principe fondamental du finitisme consiste à mettre en avant un domaine d'énoncés et de méthodes – justement appelés „finitistes“ ou „finitaires“ – dont la compréhension et la validité seraient, par nature, non problématiques, au sens où nous ne saurions les mettre en doute sans renoncer par là même à l'exercice de nos capacités intellectuelles. L'énoncé 3 + 2 = 5, par exemple, est de cet ordre, puisque nous pouvons en vérifier la correction par un simple procédé consistant à ajouter progressivement à la suite │ │ │ les unités qu'on enlève à la suite │ │, obtenant ainsi d'abord les deux suites │ │ │ │ et │, puis la suite │ │ │ │ │ elle-même. Loin de se limiter au domaine arithmétique, ce processus de construction et de déconstruction (Aufbildung und Abbildung) est, selon Hilbert, expressif de la manière même dont procède notre pensée. Par ailleurs, Hilbert considère comme finitistes, non seulement les identités numériques du type 3 + 2 = 5, mais les énoncés généraux portant sur les nombres entiers, comme : (1) x(y + z) = xy + xz(„x“, „y“ et „z“ sont ici des „variables libres“ devant intuitivement être comprises comme „universellement quantifiées“).
Du point de vue finitiste, la preuve d'un énoncé comme (1) ne met pas en jeu la totalité infinie des entiers naturels. Elle consiste simplement en une procédure générique capable, pour n'importe quel triplet d'entiers spécifiés qui pourrait être proposé, d'établir que la distributivité de la multiplication sur l'addition s'applique à eux.
Moyennant cette interprétation, l'ensemble des énoncés finitistes coïncide avec la classe des énoncés sans variables libres, ou universellement quantifiés, formés à partir des symboles numériques et des signes pour les opérations arithmétiques élémentaires comme l'addition ou […]
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