CONVENTIONNALISME, mathématique

Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, l'existence de plusieurs géométries possibles met en péril la solution kantienne. Si la négation de l'axiome des parallèles est possible, ce dernier serait-il un jugement synthétique a priori et donc nécessaire ? Des théories aussi cohérentes que celle d'Euclide, appelées géométries non euclidiennes, sont apparues. On ne peut refuser aux jugements non euclidiens le statut de connaissances. Certains soulignent alors le rôle indispensable des conventions, des choix ou des décisions dans l'acceptabilité de la connaissance mathématique. Par exemple, Henri Poincaré (1854-1912) considère l'axiome des parallèles comme une convention, qui ne peut être dite « vraie » ou « fausse ». Parmi toutes les conventions possibles, le choix est guidé par le critère de simplicité et par l'expérience des phénomènes physiques.

Henri Poincaré est souvent considéré comme le père du conventionnalisme mathématique. Dans son célèbre article « Les hypothèses fondamentales de la géométrie » (1887), il compare pour la première fois le choix entre la géométrie euclidienne et celle de Nikolaï Lobatschevski (1792-1856) à celui entre des systèmes de coordonnées. Il précise également que ce choix n'a rien d'arbitraire et que l'adoption de cette conception commence « à devenir banale ». On remarque en effet des tendances conventionnalistes dans les travaux, à peu près contemporains, d'Ernst Mach (1838-1916) et d'Émile Boutroux (1845-1921, beau-frère d'Henri Poincaré). Cependant, il n'est plus possible de dire que le conventionnalisme n'est qu'une conséquence philosophique de la découverte des géométries non euclidiennes puisque, dans son cours sur la mécanique analytique (1847-1848), l'Allemand Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) soutient dans son domaine des thèses fort semblables au conventio […]