C'est par l'utilisation de petits cailloux (caillou se dit en latin calculus) que les jeunes Romains apprenaient à compter. Le calcul est, à l'origine, étroitement associé à la notion de nombre entier et de nombre rationnel. Étant donné un mode de représentation concret des nombres – Babyloniens, Égyptiens, Grecs, Romains, Indiens ou Chinois inventeront tour à tour un tel système – il s'agit d'effectuer les opérations arithmétiques usuelles, telles l'addition ou la multiplication. Comme on le constate à propos du système décimal, justifier les bases logiques de ces opérations ne va pas de soi, tandis qu'elles ne représentent pour chacun qu'une tâche routinière. C'est là le sens premier du mot calcul : exécution répétitive, selon un enchaînement déterminé, de manipulations élémentaires.
1. Calcul numérique
Un traité célèbre du mathématicien persan du ixe siècle al-Khwārizmı̄ a servi de base à l'enseignement médiéval de l'arithmétique, d'après un système importé de l'Inde (nos chiffres dits arabes). On parlera par la suite d'algorithme pour désigner toute description d'un procédé de calcul systématique.
Très tôt, on calcule aussi des longueurs, des aires, des volumes. Archimède, au iiie siècle av. J.-C., s'illustre sur ces questions. Sur les objets géométriques continus se greffe ainsi naturellement une notion de mesure, laquelle donne lieu aux nombres réels. Divers algorithmes portant sur les nombres réels verront le jour à la Renaissance, par exemple l'algorithme de calcul des racines carrées.
Le progrès des méthodes de calcul jusqu'au xviie siècle se jauge à l'aune de la précision avec laquelle le nombre π = 3,141 592 6... est connu. Se fondant sur une mesure physique, les premières civilisations de l'écriture observent que π vaut à peu près 3, estimation déjà implicite dans la Bible. La valeur approchée 3,1416, connue des écoliers, nécessite la mathématique grecque (l'idée d'Archimède du doublement d'un polygone régulier). Le xvie siècle atteindra une connaissance de π jusqu'à la quinzième décimale, grâce aux procédés géométriques anciens conjugués à une excellente maîtrise des algorithmes arithmétiques.
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