STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

La théorie des tests d'hypothèses statistiques étudie des problèmes consistant à déterminer, à partir d'observations d'un phénomène aléatoire de loi de probabilité inconnue, si une hypothèse concernant cette loi (dite hypothèse statistique) est exacte ou non.

Pour les besoins de recherches appliquées, de nombreux chercheurs ont étudié des tests d'hypothèses statistiques. Un exemple de test d'hypothèse statistique figure dans un mémoire de Pierre Simon de Laplace (1749-1827) publié en 1773 et réédité en 1891. Une étude heuristique des conditions sous lesquelles l'hypothèse H₀ devrait être rejetée (c'est-à-dire, en langage moderne, une étude des régions critiques) est donnée dans le livre d'Émile Borel (1871-1956) Le Hasard [1914]. À cette époque les idées concernant les tests statistiques étaient encore floues. Borel insistait sur l'existence d'un test statistique « remarquable » dont les propriétés pourraient être démontrées rigoureusement. Il disait aussi que le choix du test devait être fait avant toute expérience.

Les notions d'erreurs de première et de seconde espèces, sous les noms de risque de producteur et de risque de consommateur, étaient introduites en 1929 dans les recherches appliquées consacrées au contrôle de qualité de Harold French Dodge (1893-1976) et Harry Gutelius Romig (1900-1985). Plus tard, ces notions furent réinventées par des théoriciens et sont devenues les notions de base.

Les idées fondamentales dans la théorie des tests d'hypothèses statistiques furent introduites en 1900 par Karl Pearson (1857-1936), en 1928, 1933 et 1938 par Jerzy Neyman (1894-1981) et Egon Pearson (1895-1980), en 1935 par Ronald Fisher (1890-1962), en 1941, 1947 et 1950 par Abraham Wald (1902-1950). Voir aussi les écrits de Maurice Kendall (1907-1983) et Alan Stuart [1967], Erich Lehmann [1986], Alexandre Borovkov [1987] cités dans la bibliographie.

Idées de base

Soit (X₁, ,..., X_n) un échantillon de n observations indépendantes de même loi de probabilité inconnue P_θ, θ ∈ Θ. Cet échantillon peut être représenté par un point ω d'un ensemble Ω que l'on munit d'une tribu B, de sorte que (Ω, B) est un espace mesurable. Rappelons qu'une tribu sur un ensemble Ω est un ensemble B de parties de Ω tel que : l'ensemble vide appartient à B ; le complémentaire d'un élément de B appartient à B ; la réunion d'un nombre fini ou infini dénombrable d'éléments de B appartient à B (il en résulte que Ω appartient à B et que l'intersection d'un nombre fini ou infini dénombrable d'éléments de B appartient à B). Soit P = {P_θ, θ ∈ Θ} un ensemble de lois de probabilités sur (Ω, B), où Θ est un espace paramétrique.

Supposons que l'on veuille vérifier une hypothèse H₀ selon laquelle la vraie loi P_θ du phénomène aléatoire appartiendrait à un sous-ensemble P₀ = {P_θ, θ ∈ Θ₀} de P ; H₀ peut donc s'exprimer par « P_θ ∈ P₀ » ou, ce qui est équivalent, par « θ ∈ Θ₀ ». L'hypothèse H₀ est dite hypothèse nulle et son opposée H₁, hypothèse alternative. En notant Θ₁ le complémentaire de Θ₀ dans Θ et P₁ = {P_θ, θ ∈ Θ₁}, l'hypothèse H₁ peut s'exprimer par « P_θ ∈ P₁ » ou par « θ ∈ Θ₁ ».

Un problème de test d'hypothèses est dit paramétrique si l'espace Θ est de dimension finie, et non paramétrique sinon. Si le sous-ensemble P₀ (respectivement P₁) ne contient qu'une seule loi, l'hypothèse H₀ (respectivement H₁) est dite simple, et composite sinon.

Un test statistique est une procédure, basée sur l'échantillon ω, qui permet de décider si l'hypothèse H₀ est vraie ou non, ou, plus exactement, de déclarer avec une probabilité d'erreur connue que H₀ est vraie ou qu'elle est[...]