STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

Cas de deux hypothèses simples : test séquentiel du rapport de vraisemblance

Soit (X₁,...,X_n) un échantillon de n observations indépendantes. Supposons que l'on veuille tester deux hypothèses simples concernant la loi de cet échantillon, l'hypothèse nulle H₀ (la densité de cet échantillon est p_0,n), contre l'hypothèse alternative H₁ (la densité est p_1,n). D'après le test de Neyman-Pearson, l'hypothèse H₀ sera rejetée (resp. acceptée) si la valeur du rapport de vraisemblance

Si l'on ne fixe pas à l'avance la taille n de l'échantillon, on peut construire un test meilleur en un certain sens que celui de Neyman-Pearson. Il s'agit du test séquentiel du rapport de vraisemblance, qui fonctionne de la façon suivante. Soient A₀ et A₁ deux constantes positives. On continue les observations tant que les inégalités A₀ < r_n < A₁ sont satisfaites, et on arrête les observations dès que l'on a atteint la plus petite valeur N de n, telle que l'une de ces inégalités soit fausse. À ce moment-là, on rejette l'hypothèse H₀ (et accepte H₁) si r_N ≥ A₁ et on accepte H₀ (et rejette H₁) si r_N ≤ A₀. La qualité de ce test est mesurée par les erreurs de première et de seconde espèces α₀ et α₁ respectivement, et par les durées moyennes d'observations, exprimées par les nombres moyens d'observations E₀N et E₁N. Les avantages de ce test sont les suivants.

Théorème 2. Parmi tous les tests (séquentiels ou non séquentiels) pour lesquels E₀N et E₁N sont finis, P₀ (rejet de H₀) ≤ α₀, P₁ (acceptation de H₀) ≤ α₁, avec N = inf {n ; n ≥ 0 et r_n ∉ ]A₀, A₁[, r₀ = 1}, le test séquentiel du rapport de vraisemblance d'erreurs α₀ et α₁ rend simultanément minimaux les nombres moyens d'observations E₀N et E₁N.

Pour utiliser ce test, il est indispensable de savoir comment choisir les frontières A₀ et A₁ pour des erreurs α₀ et α₁ fixées à l'avance. Il est difficile de donner leurs valeurs précises à cause des sursauts du processus (r_n)_n ≥ 0 à travers les frontières, mais on peut montrer les inégalités A₀ ≥ α₁/(1 – α₀) et A₁ ≤ (1 – α₁)/α₀. En pratique, on utilise les valeurs approximatives A₀ ≈ α₁/(1 – α₀) et A₁ ≈ (1 – α₁)/α₀, qui sont bien satisfaisantes pour les erreurs α₀ et α₁ d'ordre de 0,01 à 0,1. Le test séquentiel avec ces frontières approximatives A₀ et A₁ demande un peu plus d'observations que celui avec les frontières précises.

Pour tester deux hypothèses simples, le test séquentiel du rapport de vraisemblance possède les mêmes propriétés d'optimalité pour certaines classes de processus stochastiques à temps continu, par exemple la dérive d'un mouvement brownien. Pour les processus à trajectoires continues, les relations entre les frontières et les erreurs sont précises : A₀ = α₁/(1 – α₀) et A₁ = (1 – α₁)/α₀.