STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

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Cas de deux hypothèses simples : test séquentiel du rapport de vraisemblance

Soit (X1,...,Xn) un échantillon de n observations indépendantes. Supposons que l'on veuille tester deux hypothèses simples concernant la loi de cet échantillon, l'hypothèse nulle H0 (la densité de cet échantillon est p0,n), contre l'hypothèse alternative H1 (la densité est p1,n). D'après le test de Neyman-Pearson, l'hypothèse H0 sera rejetée (resp. acceptée) si la valeur du rapport de vraisemblance

est supérieure (resp. inférieure) à une constante convenablement choisie. Ce test est le plus puissant parmi tous les tests de même niveau ; en ce sens, il est donc « le meilleur ».

Si l'on ne fixe pas à l'avance la taille n de l'échantillon, on peut construire un test meilleur en un certain sens que celui de Neyman-Pearson. Il s'agit du test séquentiel du rapport de vraisemblance, qui fonctionne de la façon suivante. Soient A0 et A1 deux constantes positives. On continue les observations tant que les inégalités A0 < rn < A1 sont satisfaites, et on arrête les observations dès que l'on a atteint la plus petite valeur N de n, telle que l'une de ces inégalités soit fausse. À ce moment-là, on rejette l'hypothèse H0 (et accepte H1) si rN ≥ A1 et on accepte H0 (et rejette H1) si rN ≤ A0. La qualité de ce test est mesurée par les erreurs de première et de seconde espèces α0 et α1 respectivement, et par les durées moyennes d'observations, exprimées par les nombres moyens d'observations E0N et E1N. Les avantages de ce test sont les suivants.

Théorème 2. Parmi tous les tests (séquentiels ou non séquentiels) pour lesquels E0N et E1N sont finis, P0 (rejet de H0) ≤ α0, P1 (acceptation de H0) ≤ α1, avec N = inf {n ; n ≥ 0 et rn ∉ ]A0A1[, r0 = 1}, le test séquentiel du rapport de vraisemblance d'erreurs α0 et α1 rend simultanément minimaux les nombres moyens d'observations E0N et E1N.

Pour utiliser ce test, il est indispensable de savoir comment choisir les frontières A0 et A1 pour des erreurs α0 et α1 fixées à l'avance. Il est difficile de donner leurs valeurs précises à cause des sursauts du processus (rn)n  [...]

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  • Georges MORLAT
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Dans le chapitre « Théorie générale des tests »  : […] Comme nous l'avons indiqué à propos de χ 2 , les tests utilisés sur des bases empiriques s'appuient sur le principe de raisonnement suivant : si des observations avaient une probabilité très faible, cette probabilité étant calculée à l'aide d'une hypothèse (loi de probabilité) particulière, alors cette hypothèse est vraisemblablement fausse. Cette façon de raisonner a été très féconde, et, à une c […] Lire la suite

Pour citer l’article

Leonid I. GALTCHOUK, « STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/tests-d-hypotheses-statistiques/