STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

Tests asymptotiques

Les tests asymptotiques apparaissent dans les situations où il est difficile, voire impossible, de construire précisément un test optimal, mais où l'on peut construire un test asymptotiquement optimal, basé sur les théorèmes limites de la théorie des probabilités, lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini. Considérons par exemple un problème de test d'hypothèses proches.

Soit (X₁, ,..., X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de même loi de densité p_θ(x) possédant certaines propriétés de régularité et d'intégrabilité, où θ est un paramètre réel.

Considérons le problème de test de l'hypothèse nulle

 contre , où les constantes γ₁ et γ₂ sont connues, avec γ₁ ≤ γ₂.

Soit ̂θ_n un estimateur du maximum de vraisemblance (cf. théorie de l'estimation) à valeurs ̂θ_n(X₁, ,..., X_n) et ϕ_n un test déterministe de région critique

, où C_α = z_αI^–½(θ₁) + γ₁, I(θ₁) est l'information de Fisher de la densité p_θ1, z_α est la solution de l'équation Φ(z) = 1 – α où z est l'inconnue, et Φ est la fonction de répartition de la loi normale N (0, 1). La suite de ces tests ϕ_n est asymptotiquement de niveau α et asymptotiquement la plus puissante, lorsque n → + ∞, pour tester l'hypothèse H₀ contre H₁. Ce résultat est basé sur le fait que la variable aléatoire est asymptotiquement normale de moyenne 0 et de variance 1/I(θ₁).