STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

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Tests déterministes et stochastiques

On identifie tout test avec une statistique ϕ à valeurs ϕ(ω) dans l'intervalle [0, 1], et la procédure de décision au vu d'un échantillon ω (où ω ∈ Ω) est la suivante : – si ϕ(ω) = 0, on accepte l'hypothèse nulle H0 ; – si ϕ(ω) = 1, on rejette H0 ; – si 0 < ϕ(ω) < 1, on rejette H0 avec la probabilité ϕ(ω).

Un test ϕ(ω) est dit déterministe si ϕ(ω) = 0 ou 1 pour tout ω appartenant à Ω\N, où Pθ ;(N) = 0 quel que soit θ. Dans ce cas, l'ensemble de rejet de l'hypothèse nulle H0, Rc(ϕ) = {ω ; ω ∈ Ω et ϕ(ω) = 1}, est la région critique du test ϕ. Sur son complémentaire dans Ω, Ω\Rc(ϕ), l'hypothèse H0 est acceptée.

D'autres tests sont appelés stochastiques. Dans ce deuxième cas, pour tout échantillon ω, l'hypothèse H0 est rejetée avec la probabilité ϕ(ω). Cela signifie que pour prendre une décision définitive, il faut produire une sorte de « jeu », indépendant du résultat d'expérience ω, dans lequel la probabilité de « gagner » est ϕ(ω). Si on gagne dans ce jeu, alors on rejette l'hypothèse H0 ; sinon, on l'accepte.

Pour tout test ϕ, la probabilité de rejeter l'hypothèse H0 lorsqu'elle est vraie, c'est-à-dire l'erreur de première espèce, est donnée par

, où Pθ(ω) est la loi de ω sous le paramètre θ.

La quantité

est appelée niveau du test ϕ.

La probabilité d'accepter l'hypothèse H0 lorsqu'elle est fausse, c'est-à-dire l'erreur de seconde espèce, est donnée par α1 (ϕ, θ) = 1 – Eθ[ϕ], θ ∈ Θ1. La quantité βϕ(θ) = Eθ[ϕ], θ ∈ Θ1, est appelée puissance du test ϕ sous le paramètre θ et la fonction βϕ de Θ dans [0, 1] définie par βϕ(θ) = Eθ[ϕ] est appelée fonction puissance du test ϕ.

Puisqu'il n'existe aucun test qui minimise les deux erreurs simultanément, en théorie des tests statistiques on fixe un niveau convenable α d'erreur de première espèce, (1)

, puis on cherche un test ϕ qui minimise l'erreur de seconde espèce ou, ce qui est équivalent, maximise la puissance, (2)
, pour tous θ ∈ Θ1, sous la contrainte 1. Si un tel test existe, unique pour tout ensemble Θ1, il est appelé test uniformément le plus puissant (test UPP) de niveau α. Pour certa [...]

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Leonid I. GALTCHOUK, « STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/tests-d-hypotheses-statistiques/