STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

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Tests d'hypothèses sur les paramètres des lois normales

Les tests d'hypothèses sur les paramètres des lois normales sont très importants car ils ont de nombreuses applications. Considérons la loi normale N (μ, σ2) de moyenne μ, de variance σ2 et de paramètre inconnu θ = (μ, σ2) appartenant à ℝ×ℝ+.

Pour chacune des quatre hypothèses nulles unilatérales sur la moyenne et la variance : H0(1) = ((μ, σ2) : μ ≤ μ0), H0(2) = ((μ, σ2) : μ ≥ μ0), H0(3) = ((μ, σ2) : σ ≤ σ0), H0(4) = ((μ, σ2) : σ ≥ σ0), il existe un test UPP sans biais, c'est-à-dire un test vérifiant les conditions 3, 11 et 12. Tous ces tests sont basés sur le rapport de vraisemblance. Au vu de l'échantillon (X1, ,..., Xn), les régions critiques pour les hypothèses H0(1) et H0(3) sont les suivantes :

et
respectivement, où
. Les constantes C1 et C3 sont déterminées par les équations
et
respectivement, où α est le niveau du test donné à l'avance, et tn–1(y) et χn–1 2(y) sont les densités des lois de Student et du « khi-deux » (ou « χ2 ») à n – 1 degrés de liberté respectivement.

Notons que ces tests sont déterministes. Le test UPP sans biais pour l'hypothèse H0(1) est basé sur la statistique de Student et celui de H0(3) sur la statistique du « khi-deux ».

Pour l'hypothèse H0(2) [respectivement H0(4)], la région critique s'obtient à partir de Rc (1) [respectivement Rc (3)] par changement du sens de l'inégalité.

Pour certaines hypothèses nulles bilatérales, il existe aussi des tests UPP sans biais.

Si la loi normale dépend d'un seul paramètre inconnu, la moyenne ou la variance, alors elle fait partie des familles de lois ayant un rapport de vraisemblance monotone, considérées plus haut.

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  • Georges MORLAT
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Dans le chapitre « Théorie générale des tests »  : […] Comme nous l'avons indiqué à propos de χ 2 , les tests utilisés sur des bases empiriques s'appuient sur le principe de raisonnement suivant : si des observations avaient une probabilité très faible, cette probabilité étant calculée à l'aide d'une hypothèse (loi de probabilité) particulière, alors cette hypothèse est vraisemblablement fausse. Cette façon de raisonner a été très féconde, et, à une c […] Lire la suite

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Leonid I. GALTCHOUK, « STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/tests-d-hypotheses-statistiques/