STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES

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Cas de deux hypothèses simples : test de Neyman-Pearson

Dans le cas de deux hypothèses simples, H0 : θ = θ0 contre H1 : θ = θ1, le problème résumé par les conditions 1 et 2 admet une solution précise.

Considérons le cas de lois P0 = Pθ0 et P1 = Pθ1 discrètes. Si on se contente des tests déterministes, c'est-à-dire des tests ϕ de la forme ϕ(ω) = IRc(ω), où IA(ω) est l'indicatrice de l'ensemble A et Rc est une région critique, alors il faut rechercher une région critique Rc telle que pour un niveau α fixe on ait (4)

et qui maximise la puissance (5)
. Au vu de l'échantillon ω, il est clair qu'il faut rejeter H0 si la valeur de P1(ω) est importante et celle de P0(ω) est faible. Cela implique que les valeurs du rapport de vraisemblance r(ω) = P1(ω)/P0(ω) jouent le rôle clé : si ce rapport est important au point ω, il faut inclure ce point dans la région critique. Donc, pour construire Rc, il faut ranger les valeurs r(ω) lorsque ω parcourt l'espace Ω. Ensuite, il faut inclure dans Rc le plus grand nombre de points ω dont les valeurs du rapport r(ω) sont les plus élevées (pour maximiser la formule 5), de sorte que la condition 4 ne soit pas violée. Si dans la formule 4 on obtient l'égalité, la région critique optimale au sens des conditions 4 et 5 est trouvée. Mais il peut arriver que dans la formule 4 on ait l'inégalité stricte « < » et que, si l'on ajoute dans Rc le point suivant ω [dans l'ordre de décroissance de r(ω)], on obtienne l'inégalité stricte « > » (c'est-à-dire que l'on dépasse le niveau α). Cette difficulté peut être contournée par le passage au test stochastique (randomisé). Cela signifie que ce dernier point ω doit être « désagrégé » et une partie incluse dans Rc pour obtenir l'égalité dans la formule 4. Ces raisonnements se formalisent dans le théorème suivant dit lemme fondamental de Neyman-Pearson.

Théorème 1. Soient P0 et P1 deux lois de probabilités admettant les densités p0 et p1 respectivement, par rapport à une mesure σ-finie μ (sans perdre de généralité, on peut prendre μ = P0 + P1). Alors : – (existence) Pour tester H0 : p0 contre H1 : p1, il exis [...]

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  • Georges MORLAT
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Dans le chapitre « Théorie générale des tests »  : […] Comme nous l'avons indiqué à propos de χ 2 , les tests utilisés sur des bases empiriques s'appuient sur le principe de raisonnement suivant : si des observations avaient une probabilité très faible, cette probabilité étant calculée à l'aide d'une hypothèse (loi de probabilité) particulière, alors cette hypothèse est vraisemblablement fausse. Cette façon de raisonner a été très féconde, et, à une c […] Lire la suite

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Leonid I. GALTCHOUK, « STATISTIQUES TESTS D'HYPOTHÈSES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/tests-d-hypotheses-statistiques/