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MODÉLISATION, mathématique

La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – lorsque les représentations sont bonnes – sur le monde réel ; d'autre part, une notion précise et formelle de modèle est définie et étudiée en logique mathématique par la théorie des modèles, ce qui établit un lien précis entre objets syntaxiques (les formules) et structures mathématiques, puis produit sous la forme de théorèmes toutes sortes d'informations sur la nature de ce lien, le tout constituant une théorie abstraite de l'activité de modélisation au sens précédent.

Modélisation de situations du monde réel

Utiliser les mathématiques pour modéliser le monde ou certains de ses aspects particuliers est évidemment au cœur même de l'activité du mathématicien appliqué. Le mot « modèle » est alors pris dans le sens de représentation : les objets mathématiques jouent le rôle des objets réels, et de leur connaissance on espère tirer une compréhension du monde réel lui-même. Lorsque la modélisation est correcte, l'étude du modèle mathématique donne des informations sur la situation, l'objet ou les structures que vise le modèle. Ces informations peuvent provenir de l'étude mathématique du modèle, ou bien de son utilisation pour mettre au point des programmes informatiques qui, lorsqu'ils fonctionnent, simulent la situation, l'objet ou la structure modélisée. On peut ainsi modéliser le monde physique par un espace euclidien de dimension trois (ou quatre pour prendre en compte le temps) ; on peut ensuite modéliser un satellite tournant autour de la Terre par un point dont les coordonnées varient continûment en fonction du temps, etc.

Un exemple provenant de la théorie des jeux nous éclairera sur certaines possibilités et difficultés : le modèle des jeux itérés. Une confrontation entre deux entités (deux organismes vivants en compétition sur un même territoire, deux pays commerçant l'un avec l'autre, deux personnes se rencontrant dans le monde social) peut être vue comme une série de coups joués à intervalles réguliers et rapportant à chacune des entités des points destinés à comptabiliser les avantages que les entités tirent de leurs rencontres successives. Dans le cas le plus simple, chaque entité aura, à chaque coup, le choix entre deux possibilités de jeu, c1 ou c2. On pourra convenir (c'est ce qu'on appelle le modèle du dilemme des prisonniers) que : si les deux entités A et B choisissent de jouer c1, chacune emporte 3 points ; si l'une choisit c1 et l'autre c2, celle qui a joué c1 gagne 0 point et celle qui a joué c2 emporte 5 points ; enfin, si les deux entités ont joué c2, elles gagnent 1 point chacune. Une confrontation entre deux entités est alors une suite de coups numérotés de 0 à k (un entier positif), chacun rapportant des points conformément aux conventions fixées. Dans le modèle standard largement étudié, les entités choisissent ce qu'elles jouent en tenant compte des coups passés et en utilisant une méthode (appelée stratégie) qui est fixée une fois pour toutes pour chacune et qui définit l'identité de l'entité modélisée. Par exemple, la stratégie « donnant-donnant » joue c1 au premier coup (lorsqu'elle ne dispose d'aucune information sur son adversaire), puis joue au coup n ce qu'a joué son adversaire au coup n – 1 (cette méthode de jeu se révèle assez payante). La stratégie « lunatique » joue alternativement c1 et c2 en commençant par c1. Lorsque donnant-donnant rencontre lunatique, les coups joués sont c1-c1, puis c1-c2, puis c2-c1 (donnant-donnant[...]

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Écrit par

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • AUTOMATIQUE

    • Écrit par Hisham ABOU-KANDIL, Henri BOURLÈS
    • 11 646 mots
    ...peut obtenir de diverses manières, par exemple grâce à des techniques fondées sur la logique floue ou les réseaux de neurones (cf. automatisation). Mais, dans ce qui suit, nous nous placerons dans le cas, le plus fréquent, où la « mise en équation » du système peut être réalisée. La modélisation...
  • BARRAGES

    • Écrit par Claude BESSIÈRE, Pierre LONDE
    • 15 835 mots
    • 17 médias
    Lamodélisation mathématique, en particulier l'utilisation de la méthode des éléments finis tridimensionnels, a remplacé les moyens précédents et la modélisation physique (modèles en plâtre). Les développements de la programmation sur ordinateur de différentes méthodes de calcul (avec génération de...
  • BIG DATA

    • Écrit par François PÊCHEUX
    • 6 148 mots
    • 3 médias
    ...dimensions finies), cela afin d’isoler les enregistrements de la base qui correspondent à un critère de recherche donné. Les méthodes traditionnelles de modélisation de données ainsi que les systèmes de gestion de base de données ont été conçus pour des volumes de données très inférieurs à ceux du big data....
  • GRANGER GILLES GASTON (1920-2016)

    • Écrit par Elisabeth SCHWARTZ
    • 1 688 mots
    ...travail au lecteur, à supposer que celui-ci n’ait pas été rebuté d’emblée par le profil d’un philosophe apparemment limité à l’étude de la logique et des systèmes formels, purs ou appliqués aux sciences humaines et à l’histoire de la philosophie des sciences et de la logique formelle d’un Aristote, un...
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Voir aussi