FOURIER JOSEPH (1768-1830)

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L'œuvre mathématique

L'originalité de Fourier réside principalement dans sa théorie de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une « fonction arbitraire » par une série trigonométrique.

Par exemple, en résolvant l'équation :

avec les conditions aux bornes v(x, 0) = ϕ(x), définie sur l'intervalle [0, 2 π], il obtient la solution générale (notion mal définie à l'époque) :
Pour  tenir  compte  de  la  condition v(x, 0) = (x), il faut donc déterminer les valeurs de a0, des ap et bp, pour que, sur [0, 2 π],

Daniel Bernoulli, Euler, Clairaut, Lagrange avaient rencontré cette difficulté dans le cadre de calculs astronomiques ou de la controverse de la corde vibrante. Mais la confusion qui régnait alors quant à la nature d'une fonction, de sa continuité et de son domaine de définition ne permettaient guère que des essais mal orientés ou mal interprétés. Après quelques tentatives très ingénieuses, Fourier obtient en 1807, par orthogonalité, les coefficients de Fourier :

Jusqu'ici rien de nouveau. Mais deux facteurs lui permirent de franchir une nouvelle étape : c'est d'abord l'interprétation des intégrales comme des surfaces et non comme des expressions liées à un calcul de primitives, ensuite le domaine de définition de ϕ se trouve physiquement limité à [0, 2 π]. Ainsi, toute fonction arbitraire (penser à la solution générale) qui possède une surface sous son graphe peut être représentée par une série de Fourier, sur un certain domaine. La distinction s'établit clairement entre la fonction et une expression qui lui est égale sur un domaine donné. Cette vision deviendra problématique lorsque Fourier étendra, en 1822, le sens de fonction : « En général, la fonction (x) représente une suite de valeurs, ou ordonnées, dont chacune est arbitraire [...]. On ne suppose pas que ces ordonnées soient assujetties à une loi commune. Elles se succèdent d'une manière quelconque, et chacune d'elles est donnée comme le serait une seule quantité » (art. 417). Mais qu'en est-il alors de la surface sous la courbe, de la nature du domaine de définition ? Les travaux de Dirichlet, Riemann, Cantor et combien d'autres, sur l'intégration et la convergence, s'attaqueront à ces problèmes... pour aboutir à la crise des fondements (cf. fondements des mathématiques).

Enfin, l'intégrale de Fourier, ainsi que le théorème de réciprocité, apparaissent dans le mémoire de 1812 par un passage à la limite sur une série de Fourier. Après 1815, Cauchy popularise ce résultat sans connaître ce travail. Notons aussi que l'on doit à Fourier le symbole d'intégration :

La résolution des équations polynomiales par approximation des racines a été au cœur des préoccupations du mathématicien. De ses publications sur ce sujet, toutes postérieures à 1818, deux éléments ont été surtout retenus. Le premier est une généralisation de la règle de Descartes : on appelle nombre de variations de la suite (ai) le nombre des indices k tels que aik+ 1 et aik soient de signes contraires. Soit f un polynôme de degré n ≥ 0, soit v(x) le nombre de variations de la suite ((k) (x)), où (0) = f. Si ν est le nombre de racines de (x) = 0 dans l'intervalle [ab] tel que (a) ≠ 0 et (b) ≠ 0, alors ν ≤ v(b) − v(a). En 1829, Charles Sturm précise cet énoncé de façon à obtenir exactement ν. La recherche des valeurs propres des équations de la théorie de la chaleur amena Fourier à vouloir généraliser ce théorème aux fonctions transcendantes ; d'où, après 1815, une longue polémique avec Poisson.

Fourier associe à ce théorème une méthode pour déterminer le nombre de racines imaginaires « dans » un intervalle, c'est-à-dire v(b) − v(a) − ν. Il améliore aussi la méthode de Newton pour approximer les racines. Ce que nous appelons aujourd'hui méthode de Newton correspond souvent à la méthode de Fourier. En voulant étendre sa théorie aux polynômes à coefficients polynomiaux, il généralise le parallélogramme de Newton en employant les algorithmes mis au point vers 1820 pour résoudre des systèmes d'inégalités linéaires à n inconnues : en particulier, l'un de ces algorithmes qui correspond à la méthode du simplexe. Malheureusement, cette programmation linéaire avant la lettre, négligée des contemporains, sombra dans l'oubli.

En géométrie pure, Fourier tente de démontrer le cinquième postulat. Tous ses efforts se réfèrent à la statique. Il démontre, pour la première fois semble-t-il, l'équivalence de ce postulat avec le principe du levier. En géométrie différentielle, vers 1800, sous l'influence de Monge, il introduit la notion de torsion. Enfin, son originalité surprend lorsqu'il aborde, entre 1812 et 1820, les espaces de dimension n et y définit diverses « distances », par exemple d(mn) = (Σ(mi − ni)k)1/k, dont la propriété principale doit être que la droite soit le plus court chemin entre deux points.

S'intéressant à la statistique dès 1798, il sera, après 1816, considéré à l'Académie comme le spécialiste des questions d'assurances, de statistique et de probabilité. Il influença le Belge L. A. J. Quetelet et permit de rendre plus rigoureuse la réglementation des assurances. Son apport mathématique se concentre sur les techniques de calculs des erreurs d'observations.

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Pour citer l’article

Louis CHARBONNEAU, « FOURIER JOSEPH - (1768-1830) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 30 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/joseph-fourier/