FOURIER JOSEPH (1768-1830)

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L'œuvre mathématique

L'originalité de Fourier réside principalement dans sa théorie de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une « fonction arbitraire » par une série trigonométrique.

Par exemple, en résolvant l'équation :

avec les conditions aux bornes v(x, 0) = ϕ(x), définie sur l'intervalle [0, 2 π], il obtient la solution générale (notion mal définie à l'époque) :
Pour  tenir  compte  de  la  condition v(x, 0) = (x), il faut donc déterminer les valeurs de a0, des ap et bp, pour que, sur [0, 2 π],

Daniel Bernoulli, Euler, Clairaut, Lagrange avaient rencontré cette difficulté dans le cadre de calculs astronomiques ou de la controverse de la corde vibrante. Mais la confusion qui régnait alors quant à la nature d'une fonction, de sa continuité et de son domaine de définition ne permettaient guère que des essais mal orientés ou mal interprétés. Après quelques tentatives très ingénieuses, Fourier obtient en 1807, par orthogonalité, les coefficients de Fourier :

Jusqu'ici rien de nouveau. Mais deux facteurs lui permirent de franchir une nouvelle étape : c'est d'abord l'interprétation des intégrales comme des surfaces et non comme des expressions liées à un calcul de primitives, ensuite le domaine de définition de ϕ se trouve physiquement limité à [0, 2 π]. Ainsi, toute fonction arbitraire (penser à la solution générale) qui possède une surface sous son graphe peut être représentée par une série de Fourier, sur un certain domaine. La distinction s'établit clairement entre la fonction et une expression qui lui est égale sur un domaine donné. Cette vision deviendra problématique lorsque Fourier étendra, en 1822, le sens de fonction : « En général, la fonction (x) représente une suite de valeurs, ou ordonnées, dont chacune est arbitraire [...]. On ne suppose pas que ces ordonnées soient a [...]


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Pour citer l’article

Louis CHARBONNEAU, « FOURIER JOSEPH - (1768-1830) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/joseph-fourier/