HORLOGERIE

Le pendule

La période d'oscillation du pendule est donnée par la formule :

dans laquelle T est la période ; I le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe de rotation ; m sa masse ; g l'accélération de la pesanteur ; a la distance du centre de gravité à l'axe de rotation et θ l'amplitude.

Cette formule montre d'abord que la période augmente avec l'amplitude, ce qui est un grave défaut de ce type de résonateur ; l'horloge retarde lorsque l'amplitude augmente et, à la limite, la période tend vers l'infini lorsque l'amplitude tend vers 180 degrés.

Comme en général l'amplitude est faible, on se contente des deux premiers termes de la parenthèse et l'on écrit, en confondant le sinus et l'arc exprimé en radians :

Le calcul montre qu'une horloge ayant une marche nulle pour 4 degrés d'amplitude retarde de 15 secondes par jour si l'amplitude augmente de 1 degré. On peut réduire cet important défaut d'isochronisme en maintenant l'amplitude aussi faible et constante que possible. L'emploi d'un poids comme force motrice résout le problème de la constance de l'amplitude.

En outre, la formule générale montre que la période dépend de la latitude par l'intermédiaire de g : une horloge réglée à l'équateur avance de 226 secondes par jour au pôle ; la période dépend aussi de la pression barométrique, d'où la nécessité de faire une correction de poussée de l'air, et enfin de la température, à cause des dilatations. Ce dernier facteur est le plus important. La longueur du pendule augmente quand la température s'élève ; avec une tige en acier, une horloge retarde de 0,5 seconde par jour quand la température augmente de 1 ⁰C. En 1715, G. Graham a réalisé la compensation avec un pendule dont la lentille creuse était remplie de mercure. Lorsque la température s'élève, la tige du pendule s'allonge, ce qui abaisse le centre de gravité, mais le mercure se dilate vers le haut et le fait remonter. L'acier se dilatant environ cinq fois moins que le mercure, en dosant judicieusement ce dernier on peut maintenir constante la longueur active a du pendule dans les limites des températures usuelles. C'est l'un des premiers exemples connus de mécanisme d' autorégulation.

Le pendule à gril bimétallique proposé par J. Harrison en 1753 est fondé sur la différence de dilatation entre deux métaux. La tige du pendule est formée de plusieurs tringles alternativement en acier et en laiton assemblées de telle façon que les unes se dilatent vers le bas, les autres vers le haut. Cette technique est analogue à la précédente mais le pendule est plus robuste et plus facilement transportable.

Il a fallu cependant attendre plus de deux siècles après l'invention du pendule pour que soit trouvée la solution définitive au problème de la compensation thermique grâce aux travaux de Charles-Édouard Guillaume, qui créa en 1897 l' invar, alliage de fer et de nickel à 36 p. 100 de nickel, dont le coefficient de dilatation linéaire est, à la température ambiante, près de dix fois plus petit que celui de l'acier. Le faible résidu de dilatation est compensé en faisant reposer la masse du pendule sur un court cylindre en laiton fixé au bas de la tige et se dilatant vers le haut. Cette solution fut adoptée pour toutes les horloges astronomiques à pendule jusqu'à leur remplacement par les horloges à quartz.

Pour les amplitudes très petites et en supposant la masse du pendule réduite à un point, la période est celle du pendule simple : T = 2π (l/g)^1/2, où l est la longueur du pendule. La période est alors indépendante de la masse, ce qui est approximativement le cas pour le pendule composé ordinaire. On remarque également que la longueur du pendule battant la seconde (période de deux secondes) est d'environ un mètre.

Résonateur à balancier-spiral

La période du balancier est de la forme :

I est le moment d'inertie du balancier par rapport à son axe ; C est le couple de rappel du spiral pour un angle d'un radian, couple proportionnel au module d'élasticité (module de Young) de l'alliage et au moment d'inertie de la section droite de la lame. Cette période ne dépend pas de l'amplitude ; les oscillations sont donc théoriquement isochrones.

Cette condition n'est cependant que partiellement réalisée, d'une part parce que le module d'élasticité varie avec l'amplitude, c'est-à-dire que le couple n'est pas rigoureusement proportionnel à la déformation, d'autre part parce que l'échappement, pour les raisons indiquées à propos du pendule, perturbe la période du résonateur. Or, dans la montre où l'énergie est fournie par un ressort, dont la puissance décroît lorsqu'il se détend, ce défaut est particulièrement accusé.

Différents dispositifs ont été utilisés pour maintenir la force motrice, donc l'amplitude, constante. Le plus efficace est la fusée, déjà utilisée par Léonard de Vinci, et qui s'est maintenue jusqu'au xx^e siècle dans les chronomètres de marine mécaniques.

La fusée est un corps de révolution de rayon variable entraîné par une chaînette enroulée sur le tambour du barillet qui contient le ressort. Ce dernier agit sur le petit rayon de la fusée lorsqu'il est complètement armé, puis sur des rayons croissant au fur et à mesure qu'il se détend. Le couple transmis est constant si le profil de la fusée est bien calculé.

Les principaux facteurs extérieurs agissant sur la période du résonateur balancier-spiral sont : la pesanteur, la température, la pression barométrique, le champ magnétique.

Lorsque l'axe du balancier est vertical (montre en position horizontale), l'accélération de la pesanteur est sans influence sur la marche. Par contre, lorsque l'axe est horizontal (montre verticale) et si le balancier n'est pas parfaitement équilibré, un couple provenant de la pesanteur s'ajoute au couple de rappel du spiral et crée un défaut d'isochronisme. Le balancier doit donc être très bien équilibré. Simultanément, la pesanteur agit sur le spiral dont il n'est pas possible de maintenir pendant tout le mouvement, sans artifice particulier (courbes terminales), le centre de gravité sur l'axe du balancier.

La température agit non seulement sur les dimensions du balancier et du spiral, mais surtout sur le module de Young E de ce dernier, entraînant un retard d'environ onze secondes par jour lorsque la température augmente de 1 ⁰C.

Pour soustraire la marche des montres à cette influence, différents moyens ont été utilisés. On a cherché par exemple à compenser les variations de E par des variations, dans le même sens, de la longueur du spiral (Harrison, 1750 ; Berthoud, 1763) ou du moment d'inertie du balancier (Le Roy, 1751). Le balancier bimétallique dû à cet éminent chronométrier est encore utilisé dans les horloges décoratives.

Dans ce système la jante du balancier (serge) est une lame bimétallique coupée en deux endroits, proches des bras. À l'extérieur se trouve le métal le plus dilatable, le laiton ; à l'intérieur, le métal le moins dilatable, l'acier. Quand la température s'élève, les deux lames s'incurvent vers l'intérieur et le moment d'inertie du balancier diminue, compensant la variation dans le même sens du module d'élasticité. La compensation est ajustée par des vis fixées sur la jante et que l'on rapproche plus ou moins de l'extrémité libre des deux lames bimétalliques.

Malgré les perfectionnements apportés à la fabrication des balanciers bimétalliques, on ne peut éviter une erreur de compensation, pressentie peut-être par Ferdinand Berthoud (1770) et retrouvée par Dent vers 1830 : une montre munie d'un balancier compensateur bimétallique, réglée à deux températures extrêmes, 0 ⁰C et 36 ⁰C par exemple, avance à la température moyenne.

La différence entre la marche à la température moyenne et la moyenne des marches aux températures extrêmes a reçu le nom d'erreur secondaire. Elle vaut environ 2 secondes par jour. Cette erreur résulte du fait que la correction thermique de la marche apportée par le balancier est linéaire, alors que la correction due au spiral est quadratique. C. E. Guillaume, vers 1900, résolut le problème en associant au laiton du bilame du balancier un acier ferronickel à 44 p. 100 de nickel.

Mais la méthode la plus directe pour soustraire la marche des montres à l'influence de la température est de fabriquer le spiral dans un alliage à coefficient thermoélastique nul. Ce problème de métallurgie fine fut résolu par C. E. Guillaume en 1920, après de nombreux essais. L'alliage dénommé élinvar (élasticité invariable) est un ferronickel au chrome. Son pouvoir compensateur n'est pas rigoureusement nul, mais est ajusté de façon à corriger les seules variations des dimensions du balancier et du spiral. Cette solution très élégante fut utilisée dans presque toutes les montres mécaniques.