EUDOXE DE CNIDE (env. 400-355 av. J.-C.)

Travaux mathématiques

Les travaux d'Eudoxe en mathématiques sont connus avec beaucoup plus de précision. D'après le témoignage de Proclus, il avait composé des traités qui ont servi de point de départ aux Éléments d' Euclide et même à des parties plus complexes de l'analyse géométrique ultérieure. Deux scolies anonymes aux Éléments lui attribuent la paternité du livre V et de la théorie savante des rapports qui s'y trouve exposée. Cependant, ce fait est mal établi et soulève de graves difficultés théoriques. La mathématique du livre V est en effet beaucoup plus subtile que celle connue d'Aristote, postérieur à Eudoxe. Elle n'a été vraiment comprise qu'à la fin du xix^e siècle, et ce n'est pas faire injure au grand Cnidien que lui en dénier la paternité. En particulier, il n'y a pas lieu d'appeler « axiome d'Eudoxe » l'axiome d'Archimède. Mais on ne peut pas refuser à Eudoxe les principaux résultats du livre XII des Éléments, le témoin étant Archimède lui-même, qui le cite trois fois, dont deux à ce sujet. Il nous apprend que Démocrite avait avancé, pour le volume de la pyramide, la formule actuelle : tiers du produit de la base par la hauteur. Eudoxe avait ensuite fourni pour ce volume et pour celui du cône des preuves irréfutables. Cette étude forme en fait la majeure partie du livre XII, qu'il y a donc lieu de lui attribuer. À ce point de vue, il est le fondateur, avant Archimède, du calcul intégral, sous un aspect purement géométrique.

Il avait encore traité de l'arithmétique et de la musique puisque Proclus rapporte qu'il avait ajouté trois moyennes aux trois anciennement connues, à savoir l'arithmétique, la géométrique et l'harmonique.

Pour le problème, déjà ancien à son époque, de la duplication du cube, il aurait utilisé certaines lignes courbes dont, malheureusement, on ignore tout.

Enfin, lorsque Proclus déclare : « Eudoxe présenta en plus grand nombre les questions relatives à la section », la plupart des historiens veulent voir dans cette phrase une allusion à la section d'or, ou division en moyenne et extrême raison, c'est-à-dire à la résolution graphique de l'équation x² + x − 1 = 0. Paul Tannery a préféré y voir une allusion aux sections coniques, qui apparaissent justement au iv^e siècle. Quant à Paul Ver Eecke, et nous nous rangerions à son avis, il y voit le début du Trésor de l'analyse dont Pappus nous a transmis les thèmes essentiels d'après Apollonios : section de rapport, section d'aire, section déterminée. Il s'agit essentiellement de la discussion de problèmes délicats du second degré.