CARTAN ÉLIE (1869-1951)

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« Groupes continus infinis »

Les théories de l'équivalence et de l'involution ont leurs applications dans la théorie des « groupes continus infinis » développée par Cartan de 1904 à 1909 (résumée dans des exposés du séminaire Julia en 1937) ; un « groupe infini continu » (dont la définition a été donnée par S. Lie) est un ensemble G d'homéomorphismes analytiques d'ouverts de Cn (ou Rn), muni d'une loi de composition partiellement définie, G constituant la solution générale d'un système S d'équations aux dérivées partielles analytiques, assujetti à certaines conditions de régularité (dont l'ordre est appelé l'ordre du « groupe infini ») ; si S est un système de Mayer-Lie (c'est-à-dire si toutes les dérivées partielles d'ordre ≥ r s'expriment en fonction des dérivées d'ordre inférieur), on a un « groupe continu fini » ; comme G n'est pas en général muni d'une structure algébrique de groupe, les notions d'isomorphisme, « sous-groupe » invariant, « groupe infini » simple, ne peuvent se formuler de la même manière que pour les groupes de transformations véritables ; c'est pourquoi Cartan a introduit la notion de prolongement : G′ opérant localement dans Cn+p (resp. Rn+p) est le prolongement de G opérant localement dans Cn (resp. Rn), si tout ′ ∈ G′ se projette suivant une application de ∈ G ; le prolongement est holoédrique, si à tout ∈ G correspond un seul homéomorphisme ′ ∈ G′ ; il est mériédrique dans le cas contraire. Cartan a obtenu les trois théorèmes fondamentaux suivants, généralisant ceux de Lie pour les groupes de transformations :

1. Tout « groupe continu » G admet un prolongement holoédrique G′ du premier ordre (prolongement normal) caractérisé par la propriété de laisser invariantes des formes de Pfaff.

2. Ces formes ωi vérifient des équations de structure :

les formes ωS étant définies sur un prolongement de l'espace où opère G′, les coefficients aijs (nuls dans le cas fini) formant un système involutif.

3. À la donnée des coefficients cijk et aijs vérifiant certaines conditions de compatibilité, il correspond un « groupe infini ».

Cartan a déterminé le [...]


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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « CARTAN ÉLIE - (1869-1951) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/elie-cartan/