CARTAN ÉLIE (1869-1951)

« Groupes continus infinis »

Les théories de l'équivalence et de l'involution ont leurs applications dans la théorie des « groupes continus infinis » développée par Cartan de 1904 à 1909 (résumée dans des exposés du séminaire Julia en 1937) ; un « groupe infini continu » (dont la définition a été donnée par S. Lie) est un ensemble G d'homéomorphismes analytiques d'ouverts de Cⁿ (ou Rⁿ), muni d'une loi de composition partiellement définie, G constituant la solution générale d'un système S d'équations aux dérivées partielles analytiques, assujetti à certaines conditions de régularité (dont l'ordre est appelé l'ordre du « groupe infini ») ; si S est un système de Mayer-Lie (c'est-à-dire si toutes les dérivées partielles d'ordre ≥ r s'expriment en fonction des dérivées d'ordre inférieur), on a un « groupe continu fini » ; comme G n'est pas en général muni d'une structure algébrique de groupe, les notions d'isomorphisme, « sous-groupe » invariant, « groupe infini » simple, ne peuvent se formuler de la même manière que pour les groupes de transformations véritables ; c'est pourquoi Cartan a introduit la notion de prolongement : G′ opérant localement dans C^n+p (resp. R^n+p) est le prolongement de G opérant localement dans Cⁿ (resp. Rⁿ), si tout f ′ ∈ G′ se projette suivant une application de f ∈ G ; le prolongement est holoédrique, si à tout f ∈ G correspond un seul homéomorphisme f ′ ∈ G′ ; il est mériédrique dans le cas contraire. Cartan a obtenu les trois théorèmes fondamentaux suivants, généralisant ceux de Lie pour les groupes de transformations :

1. Tout « groupe continu » G admet un prolongement holoédrique G′ du premier ordre (prolongement normal) caractérisé par la propriété de laisser invariantes des formes de Pfaff.

2. Ces formes ωⁱ vérifient des équations de structure :

3. À la donnée des coefficients cⁱ_jk et aⁱ_js vérifiant certaines conditions de compatibilité, il correspond un « groupe infini ».

Cartan a déterminé les « groupes continus » isomorphes holéodriques d'un « groupe » donné et défini un « groupe continu » simple comme un « groupe » n'admettant pas de « groupe » isomorphe mériédrique. Par la considération des groupes linéaires irréductibles semi-involutifs, Cartan a obtenu la classification des « groupes infinis » simples transitifs : ceux-ci se répartissent en quatre classes.

Depuis 1952, avec l'introduction des pseudogroupes de Lie, ces questions ont pris un développement considérable : l'utilisation des jets et des feuilletages permet de formuler la théorie de Cartan sous forme globale (un « groupe infini » est un noyau de pseudogroupe de Lie). Beaucoup de travaux utilisent les pseudogroupes infinitésimaux (faisceaux d'algèbres de Lie), ce qui se rattache aux travaux de S. Lie et Vessiot, mais Cartan n'avait pas étudié ce point de vue.