CONVEXITÉ Fonctions convexes

Cas général

Dans ce chapitre, E désigne l'espace Rⁿ ou, plus généralement, un espace vectoriel topologique séparé localement convexe sur R ; dans ce dernier cas, le dual topologique E* de E sera muni de la topologie faible τ_s(E) donnée par E et E sera muni de la topologie faible τ_s(E*) donnée par E*.

Il ne faudrait pas croire que l'on peut, comme dans le cas des fonctions convexes de R dans R, conclure à la continuité des fonctions convexes de E dans R− ; on dispose, en fait, du résultat suivant : Soit f une fonction convexe prenant une valeur finie en un point x de E ; s'il existe un voisinage de x sur lequel f est majorée par une constante finie, elle est continue au point x.

Ce résultat permet, dans le cas particulier où E = Rⁿ, d'établir que : Toute fonction convexe propre sur Rⁿ est continue sur l'intérieur de son domaine effectif ; en particulier, si f est à valeurs dans R, alors dom ( f ) = Rⁿ et f est continue sur Rⁿ.

Rappelons qu'une fonction f de E dans R− est dite semi-continue inférieurement si, pour tout réel a, l'ensemble des éléments x de E tels que f (x) ≤ a est fermé ; il est équivalent de dire que l'épigraphe de f est fermé, ou encore que f est enveloppe supérieure d'une famille de fonctions continues, c'est-à-dire que :

L'importance des hyperplans d'appui dans l'étude des ensembles convexes nous amène à introduire pour une fonction convexe f de E dans R− la famille A_f des fonctions affines continues qui minorent f. Si on note Γ(E) l'ensemble des fonctions h de E dans R− qui sont enveloppe supérieure d'une famille de fonctions affines continues, le théorème de séparation (cf. chap. 4 de l'article convexité – Ensembles convexes) permet de montrer que : L'ensemble h est élément de Γ(E) si et seulement si h est une fonction convexe propre semi-continue inférieurement ou vaut identiquement − ∞.

Pour une fonction f de E dans R−, la plus grande fonction g de Γ(E) qui minore f est aussi l'enveloppe supérieure des fonctions affines continues qui minorent f ; dans le cas où f est une fonction convexe et où A_f est non vide, g est aussi la plus grande fonction semi-continue inférieurement qui minore f ; si bien que, lorsque f est de plus semi-continue inférieurement, f = g.

Fonction conjuguée d'une fonction convexe

L'inégalité d'Young du chapitre 2 s'écrit xy − g(y) ≤ f (x), ce que l'on peut interpréter en disant que la fonction affine l(x) = xy − g(y) est une minorante de f ; la fonction g(y) est choisie de telle sorte que l(x) soit la plus grande minorante affine de f de coefficient directeur y.

Si, maintenant, f est une fonction convexe de E dans R−, de la même façon, pour tout x*∈ E*, introduisons la fonction affine l(x) = x*(x) − α et cherchons à déterminer si possible α, de manière à obtenir la plus grande minorante affine de f de forme linéaire associée x* ; cela nous conduit à introduire :

Si  f *(x*)  ∈  R,  alors  la  fonction l(x) = x*(x) − f*(x*) est effectivement la plus grande minorante affine continue de forme linéaire associée x*.

La formule (10) généralise la transformation de Legendre (7) du chapitre 2 et permet de définir sur E* une fonction f* convexe qui est dans la classe Γ(E*) ; la fonction f* est, par définition, la fonction conjuguée de f. Remarquons que si la fonction f (x) est finie, de la formule (10) on tire l'inégalité de Young :

qui généralise l'inégalité (6) du chapitre 2.

Recommençons maintenant le procédé en posant, pour tout x ∈ E,

f ** est alors le plus grand élément de Γ(E) qui minore f ; donc, si f ∈ Γ(E), alors f = f **.