CONVEXITÉFonctions convexes

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Coefficient directeur d'une droite

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L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées partielles, l'analyse numérique. Compte tenu de la difficulté d'aborder de manière un peu générale les problèmes non linéaires, c'est là un rôle très important qui a motivé le développement autonome de la théorie.

Les travaux de W. Fenchel, de T. Rockafellar, de J.-J. Moreau ont développé les outils de base de l'analyse convexe notamment la notion de fonctions convexes conjuguées et la notion de sous-différentiel qui sert de produit de remplacement pour les fonctions convexes non différentiables.

Nous renvoyons à l'article convexité - Ensembles convexes, pour tout ce qui concerne les résultats généraux .

Les fonctions convexes

Soit E un espace vectoriel sur R, C une partie convexe de E et f une fonction définie sur E à valeurs dans R− (c'est-à-dire prenant éventuellement les valeurs ± ∞). L'épigraphe de f, noté épi(), est l'ensemble des couples (xa) de C × R tels que f (x) ≤ a. La fonction f sera dite convexe si son épigraphe est une partie convexe de E × R.

On obtient immédiatement une interprétation analytique de cette définition : La fonction f est convexe si et seulement si, pour tout réel λ de l'intervalle [0, 1], on a :

pour tous les couples (xy) d'éléments de C ne vérifiant pas f (x) = − f (y) = ± ∞ (auquel cas le second membre de l'inégalité (1) n'est pas défini). En raisonnant par récurrence, on prouve que, si λ1, λ2, ..., λn sont des réels positifs dont la somme est 1, on a :
chaque fois que le second membre de l'inégalité (2) a un sens.

La possibilité pour la fonction f de prendre la valeur + ∞ permet de ne considérer que des fonctions convexes définies sur E tout entier ; en effet, si on prolonge la fonction f définie sur C en la fonction définie sur E en posant f̃ (x) = + ∞ si ∉ C, les fonctions f et


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Écrit par :

  • : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy

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Pour citer l’article

Robert ROLLAND, « CONVEXITÉ - Fonctions convexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-fonctions-convexes/