CONVEXITÉFonctions convexes

L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées partielles, l'analyse numérique. Compte tenu de la difficulté d'aborder de manière un peu générale les problèmes non linéaires, c'est là un rôle très important qui a motivé le développement autonome de la théorie.

Les travaux de W. Fenchel, de T. Rockafellar, de J.-J. Moreau ont développé les outils de base de l'analyse convexe notamment la notion de fonctions convexes conjuguées et la notion de sous-différentiel qui sert de produit de remplacement pour les fonctions convexes non différentiables.

Nous renvoyons à l'article convexité - Ensembles convexes, pour tout ce qui concerne les résultats généraux .

Les fonctions convexes

Soit E un espace vectoriel sur R, C une partie convexe de E et f une fonction définie sur E à valeurs dans R− (c'est-à-dire prenant éventuellement les valeurs ± ∞). L'épigraphe de f, noté épi(f ), est l'ensemble des couples (x, a) de C × R tels que f (x) ≤ a. La fonction f sera dite convexe si son épigraphe est une partie convexe de E × R.

On obtient immédiatement une interprétation analytique de cette définition : La fonction f est convexe si et seulement si, pour tout réel λ de l'intervalle [0, 1], on a :

pour tous les couples (x, y) d'éléments de C ne vérifiant pas f (x) = − f (y) = ± ∞ (auquel cas le second membre de l'inégalité (1) n'est pas défini). En raisonnant par récurrence, on prouve que, si λ₁, λ₂, ..., λ_n sont des réels positifs dont la somme est 1, on a :chaque fois que le second membre de l'inégalité (2) a un sens.

La possibilité pour la fonction f de prendre la valeur + ∞ permet de ne considérer que des fonctions convexes définies sur E tout entier ; en effet, si on prolonge la fonction f définie sur C en la fonction f̃ définie sur E en posant f̃ (x) = + ∞ si x ∉ C, les fonctions f et f̃ ont alors le même épigraphe et donc f est convexe si et seulement si f̃ est convexe. Désormais, nous ne considérerons donc que des fonctions définies sur E tout entier. Cela nous conduit à définir le domaine effectif de f, noté dom (f ) :

Le domaine effectif de f est la projection sur E de l'épigraphe de f ; c'est une partie convexe de E.

La valeur − ∞ peut se présenter dans certains cas particuliers ; nous ne l'éliminons pas a priori ; néanmoins, nous introduisons la terminologie suivante : La fonction convexe f est propre si son domaine effectif est non vide et si elle ne prend jamais la valeur − ∞ ; la restriction de f à dom (f ) est alors une fonction à valeurs dans R (cf. convexité - Ensembles convexes). Une fonction deux fois continûment différentiable sur un ouvert convexe C de Rⁿ à valeurs réelles est convexe si et seulement si la matrice hessienne :

est, en tout point x de C, la matrice d'une forme quadratique positive.

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