CONVEXITÉFonctions convexes
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L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées partielles, l'analyse numérique. Compte tenu de la difficulté d'aborder de manière un peu générale les problèmes non linéaires, c'est là un rôle très important qui a motivé le développement autonome de la théorie.
Les travaux de W. Fenchel, de T. Rockafellar, de J.-J. Moreau ont développé les outils de base de l'analyse convexe notamment la notion de fonctions convexes conjuguées et la notion de sous-différentiel qui sert de produit de remplacement pour les fonctions convexes non différentiables.
Nous renvoyons à l'article convexité - Ensembles convexes, pour tout ce qui concerne les résultats généraux .
Les fonctions convexes
Soit E un espace vectoriel sur R, C une partie convexe de E et f une fonction définie sur E à valeurs dans R− (c'est-à-dire prenant éventuellement les valeurs ± ∞). L'épigraphe de f, noté épi(f ), est l'ensemble des couples (x, a) de C × R tels que f (x) ≤ a. La fonction f sera dite convexe si son épigraphe est une partie convexe de E × R.
On obtient immédiatement une interprétation analytique de cette définition : La fonction f est convexe si et seulement si, pour tout réel λ de l'intervalle [0, 1], on a :


La possibilité pour la fonction f de prendre la valeur + ∞ permet de ne considérer que des fonctions convexes définies sur E tout entier ; en effet, si on prolonge la fonction f définie sur C en la fonction f̃ définie sur E en posant f̃ (x) = + ∞ si x ∉ C, les fonctions f et f̃
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Écrit par :
- Robert ROLLAND : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy
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CONVEXITÉ - Ensembles convexes
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Pour citer l’article
Robert ROLLAND, « CONVEXITÉ - Fonctions convexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-fonctions-convexes/