CONVEXITÉ Fonctions convexes

Les N-fonctions

Considérons  maintenant  les  fonctions convexes définies sur R à valeurs dans R et qui admettent une représentation de la forme :

où ϕ est une fonction définie sur [0, + ∞[, croissante, continue à droite, nulle en 0, telle que :ces fonctions présentent un intérêt particulier pour la définition des espaces d'Orlicz ; ce sont les N-fonctions. Il s'agit, en fait, des fonctions convexes paires définies sur R à valeurs dans R strictement croissantes sur [0, + ∞[, telles que :

Les N-fonctions vérifient, en outre, les inégalités :

 

Soit f une N-fonction exprimée sous la forme (4) ; posons :

Si ϕ est continue strictement croissante, ψ est la fonction réciproque de ϕ.

Remarquons qu'à un intervalle sur lequel ϕ est constante correspond un saut de la fonction ψ et qu'à un saut de la fonction ϕ correspond un intervalle sur lequel ψ est constante ; si l'on rajoute aux courbes représentatives de ϕ et de ψ les segments verticaux qui correspondent aux sauts des fonctions ϕ et ψ (ce sont les seules discontinuités possibles puisque ces fonctions sont monotones), on obtient des courbes symétriques par rapport à la première bissectrice. Une démarche analogue effectuée sur la fonction ψ redonne la fonction ϕ.

Si, maintenant, on pose :

on obtient une N-fonction appelée fonction conjuguée de la fonction f.

L'inégalité suivante, appelée inégalité de Young, dont la signification géométrique obtenue en interprétant f (x) et g (y) comme des aires est suggérée sur la figure,a lieu :

L'égalité est atteinte lorsque x ≥ 0 et y = ϕ (x) ; si bien que l'on a :

et qu'on a de même :Comme g(y) ≥ xy − f (x) et que l'égalité a lieu pour au moins une valeur x₀ de x, on peut dire que :

Cette inégalité a une interprétation géométrique simple en introduisant le point M d'abscisse x sur la droite D passant par l'origine de coefficient directeur y et le point N d'abscisse x sur la courbe représentative de g  ; alors :

Remarquons que, si f est dérivable, la tangente au graphe de f en N₀ est parallèle à la droite D et l'équation de cette tangente est t(x) = xy − g(y). La fonction g est la transformée de Legendre de f.

On peut aussi dire que la fonction t(x) = xy − g(y) est la plus grande fonction affine de coefficient directeur y qui minore f.

Si p > 1, la fonction f (x) = |x|^p/p est un exemple de N-fonction ; pour x > 0, on a f′(x) = x^p-1 et (f′)^-1(x) = x^q-1, où 1/p + 1/q = 1 ; par conséquent la fonction [...]