CONVEXITÉFonctions convexes

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Cas de la dimension 1

L'exemple des fonctions convexes définies sur R est instructif pour l'étude ultérieure des fonctions convexes définies sur Rn, ou même sur des espaces vectoriels topologiques. En outre, ce cas a un intérêt propre pour la définition d'une classe intéressante d'espaces : les espaces d'Orlicz. Dans tout ce chapitre 2, f est une fonction convexe propre définie sur R.

Supposons que x1, x2, x3 soient dans dom () et vérifient x1 ≤ x2 ≤ x3 ; en remarquant que :

et en appliquant l'inégalité (1), on obtient les inégalités :
c'est-à-dire que le coefficient directeur de la droite M1M3 est compris entre celui de la droite M1M2 et celui de la droite M2M3. En se servant de ces inégalités, on montre que f est continue sur l'intérieur de son domaine effectif.

Coefficient directeur d'une droite

Dessin : Coefficient directeur d'une droite

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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L'utilisation des inégalités (3) permet de montrer que, en tout point intérieur à dom f, la fonction f admet une dérivée à droite d(x) et une dérivée à gauche g(x) et qu'on a, en outre, g(x) ≤ d(x). De plus, d(x) est croissante et continue à droite sur l'intérieur de dom f. Si x0 est un point intérieur à dom f tel que f (x0) = 0, pour tout x intérieur à dom f, on peut écrire :

Les N-fonctions

Considérons  maintenant  les  fonctions convexes définies sur R à valeurs dans R et qui admettent une représentation de la forme :

où ϕ est une fonction définie sur [0, + ∞[, croissante, continue à droite, nulle en 0, telle que :
ces fonctions présentent un intérêt particulier pour la définition des espaces d'Orlicz ; ce sont les N-fonctions. Il s'agit, en fait, des fonctions convexes paires définies sur R à valeurs dans R strictement croissantes sur [0, + ∞[, telles que :

Les N-fonctions vérifient, en outre, les inégalités :

Figure 2

Dessin : Figure 2

Figure 2. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Soit f une N-fonction exprimée sous la forme (4) ; posons :

Si ϕ est continue strictement croissante, ψ est la fonction réciproque de ϕ.

Figure 3

Dessin : Figure 3

Figure 3. 

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Remarquons qu'à un intervalle sur lequel ϕ est constante correspond un saut de la fonction ψ et qu'à un saut de la fonction ϕ correspond un intervalle sur lequel ψ est constante ; si l'on rajoute aux courbes représentatives de ϕ et de ψ les segments verticaux qui correspondent aux sauts des fonctions ϕ et ψ (ce sont les seules discontinuités possibles puisque ces fonctions sont monotones), on obtient des courbes symétriques par rapport à la première bissectrice. Une démarche analogue effectuée sur la fonction ψ redonne la fonction ϕ.

Si, maintenant, on pose :

on obtient une N-fonction appelée fonction conjuguée de la fonction f.

L'inégalité suivante, appelée inégalité de Young, dont la signification géométrique obtenue en interprétant (x) et (y) comme des aires est suggérée sur la figure,a lieu :

Figure 4

Dessin : Figure 4

Figure 4. 

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L'égalité est atteinte lorsque ≥ 0 et y = ϕ (x) ; si bien que l'on a :

et qu'on a de même :
Comme g(y) ≥ xy − (x) et que l'égalité a lieu pour au moins une valeur x0 de x, on peut dire que :

Cette inégalité a une interprétation géométrique simple en introduisant le point M d'abscisse x sur la droite D passant par l'origine de coefficient directeur y et le point N d'abscisse x sur la courbe représentative de g  ; alors :

Figure 5

Dessin : Figure 5

Figure 5. 

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Remarquons que, si f est dérivable, la tangente au graphe de f en N0 est parallèle à la droite D et l'équation de cette tangente est t(x) = xy − g(y). La fonction g est la transformée de Legendre de f.

On peut aussi dire que la fonction t(x) = xy − g(y) est la plus grande fonction affine de coefficient directeur y qui minore f.

Si > 1, la fonction (x) = |x|p/p est un exemple de N-fonction ; pour > 0, on a f′(x) = xp-1 et (f′)-1(x) = xq-1, où 1/p + 1/q = 1 ; par conséquent la fonction g conjuguée de f est définie par g(x) = |x|q/q.

Les espaces d'Orlicz

Soit f une N-fonction, notons lf l'ensemble des suites réelles (xi)i0 telles qu'il existe α > 0 pour lequel :

lf est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites que l'on munit d'une norme en posant :
Muni de cette norme, lf est un espace de Banach (cf. espaces vectoriels normés), appelé espace d'Orlicz de suites associé à la N-fonction f.

On peut montrer que lf est aussi l'ensemble des suites réelles (xi)i0 telles que :

g est la fonction conjuguée de f.

On définit alors une autre norme sur lf en posant :

Cette norme est équivalente à la première ; plus précisément :

Lorsque f vérifie, en outre, la condition :

ce qui se produit si et seulement si :
l'espace lf est aussi l'espace des suites (xi)i0 tel que, pour tout α > 0, l'inégalité (8) ait lieu ; lf est alors un espace de Banach séparable ; son dual est isomorphe à lg, où g est la conjuguée de f, gr [...]

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Coefficient directeur d'une droite

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Figure 2

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  • : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy

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Pour citer l’article

Robert ROLLAND, « CONVEXITÉ - Fonctions convexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 juillet 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-fonctions-convexes/