CONTINUITÉ, mathématique

Définition générale de la continuité d'une fonction

La définition ci-dessus suppose en fait implicitement l'utilisation de la topologie usuelle de ℝ (celle de l'ordre). En effet, en exprimant que f (x) peut être aussi proche que l'on veut de f (a) pourvu que x soit suffisamment proche de a, on utilise une notion de proximité qui dépend d'une valeur absolue liée à une différence entre nombres réels et à un ordre total dans l'ensemble des nombres réels (ordre total, car deux nombres réels sont toujours comparables : ils sont égaux ou l'un est plus grand que l'autre) : cette notion de proximité, liée à ce que l'on appelle la « topologie de l'ordre sur l'ensemble des nombres réels », est bien celle à utiliser pour voir si et comment une fonction réelle d'une variable réelle peut être représentée par une courbe, mais n'est pas la seule possible.

Pour définir rigoureusement la continuité d'une fonction d'un ensemble dans un autre sans définir d'opération algébrique ni d'ordre total, et donc pour traduire l'idée intuitive de proximité de deux éléments sans les classer l'un par rapport à l'autre, on utilise la notion mathématique d'espace topologique.

Rappelons qu'un espace topologique est un couple formé d'un ensemble E et d'une topologie sur E, c'est-à-dire d'un ensemble de parties de E possédant certaines propriétés permettant justement d'exprimer précisément une certaine notion de proximité.

Si donc (E, O) et (E', O') sont deux espaces topologiques, f une fonction de E dans E' d'ensemble de définition D et a un élément de D, f est continue pour les topologies O et O' au point a (ou O-O'-continue au point a) si f (x) est « aussi voisin qu'on veut » de f (a) dès que x est « assez voisin » de a, les sens de « voisin de a » et de « voisin de f (a) » étant précisés à l'aide des topologies O et O' respectivement : plus précisément, si pour tout O'-voisinage V' de f (a), il existe un O-voisinage V de a tel que, quel que soit x appartenant à l'intersection de V et de D, f (x) appartient à V' (un O-voisinage d'une partie A de E est une partie de E qui contient un élément de O contenant A).

La continuité ou non d'une fonction n'est donc pas pour celle-ci une propriété intrinsèque : elle dépend des topologies O et O' choisies sur ses ensembles de départ et d'arrivée.

À partir de la notion de continuité d'une fonction, on a défini d'autres notions proches, notamment celles de semicontinuité (la fonction partie entière est semicontinue à droite en x et semicontinue supérieurement en x si x est un nombre entier relatif) et d'uniforme continuité d'une fonction, d'équicontinuité et d'uniforme équicontinuité d'un ensemble d'applications.