CONTINUITÉ, mathématique

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Définition générale de la continuité d'une fonction

La définition ci-dessus suppose en fait implicitement l'utilisation de la topologie usuelle de ℝ (celle de l'ordre). En effet, en exprimant que f (x) peut être aussi proche que l'on veut de f (a) pourvu que x soit suffisamment proche de a, on utilise une notion de proximité qui dépend d'une valeur absolue liée à une différence entre nombres réels et à un ordre total dans l'ensemble des nombres réels (ordre total, car deux nombres réels sont toujours comparables : ils sont égaux ou l'un est plus grand que l'autre) : cette notion de proximité, liée à ce que l'on appelle la « topologie de l'ordre sur l'ensemble des nombres réels », est bien celle à utiliser pour voir si et comment une fonction réelle d'une variable réelle peut être représentée par une courbe, mais n'est pas la seule possible.

Pour définir rigoureusement la continuité d'une fonction d'un ensemble dans un autre sans définir d'opération algébrique ni d'ordre total, et donc pour traduire l'idée intuitive de proximité de deux éléments sans les classer l'un par rapport à l'autre, on utilise la notion mathématique d'espace topologique.

Rappelons qu'un espace topologique est un couple formé d'un ensemble E et d'une topologie sur E, c'est-à-dire d'un ensemble de parties de E possédant certaines propriétés permettant justement d'exprimer précisément une certaine notion de proximité.

Si donc (E, O) et (E', O') sont deux espaces topologiques, f une fonction de E dans E' d'ensemble de définition D et a un élément de D, f est continue pour les topologies O et O' au point a (ou O-O'-continue au point a) si f (x) est « aussi voisin qu'on veut » de f (a) dès que x est « assez voisin » de a, les sens de « voisin de a » et de « voisin de f (a) » étant précisés à l'aide des topologies O et O' respectivement : plus précisément, si pour tout O'-voisinage V' de f (a), il existe un O-voisinage V de a tel que, quel que soit x appartenant à l'intersection de V et de D, f (x) appartient à V' (un O-voisinage d'une partie A de E est une partie de E qui contient un élément de O cont [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 3 pages


Écrit par :

  • : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

Classification


Autres références

«  CONTINUITÉ, mathématique  » est également traité dans :

BOLZANO BERNARD (1781-1848)

  • Écrit par 
  • Jan SEBESTIK
  •  • 3 612 mots

Dans le chapitre « Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini » »  : […] La Grössenlehre , qui date quant à l'essentiel des années 1830-1834, représente la réalisation, inachevée, du grand projet de Bolzano de donner un exposé rigoureusement scientifique de la mathématique à partir de ses premiers concepts et selon les normes de la Wissenschaftslehre . Quoique Bolzano revienne à la définition traditionnelle de la mathématiqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/bernard-bolzano/#i_33385

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

  • Écrit par 
  • Roger GODEMENT
  •  • 11 788 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Caractérisations des fonctions réglées »  : […] Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle X, et Y un intervalle (ou un ensemble) contenu dans X. Nous dirons que f est constante à 10 - p près sur Y s'il existe un nombre c tel que l'on ait | […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/#i_33385

COMPACITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 053 mots

La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/compacite-mathematique/#i_33385

CONNEXITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 002 mots

L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importante de ses propriétés est de ne pouvoir p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/connexite-mathematique/#i_33385

CONTINU & DISCRET

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 7 679 mots

Dans le chapitre « Investissement philosophique de l'opposition »  : […] Il existe une tradition philosophique rattachant le continu à l'Identité, au Même, à la Permanence : le structuralisme, qui pensait mener un combat contre ces figures, et tout particulièrement contre l'historicisme, nous a incité à considérer de préférence cette tradition, pour mieux la rejeter. Peut-être tire-t-elle sa force de la pensée de Leibniz, si l'on veut à tout prix déterminer une origin […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continu-et-discret/#i_33385

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU, 
  • Henri SKODA
  •  • 8 734 mots

Dans le chapitre « Prolongement analytique »  : […] Soit Ω un ouvert de C n  ; nous supposerons cet ouvert connexe, ce qui implique ici que deux points quelconques de Ω peuvent être joints par une ligne polygonale entièrement située dans Ω. Si deux fonctions f et g holomorphes dans Ω sont égales dans un polydisque contenu dans Ω, alors elles sont égales dan […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-de-plusieurs-variables-complexes/#i_33385

INFINI, mathématiques

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 364 mots

Dans le chapitre « Le passage à la limite »  : […] Conséquence lourde de difficultés : l'exigence de donner un statut au concept de « passage à la limite » et au concept, solidaire, de « quantité évanouissante ». Lorsque Leibniz réfléchit au sens de l'écriture : pour n croissant indéfiniment, il se demande ce que signifie ici le signe de l'égalité. À rigoureusement parler, ce signe est privé de sens puisque la sommation : ne […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/infini-mathematiques/#i_33385

MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 425 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Suites de Cauchy »  : […] B. Bolzano et A. Cauchy ont dégagé l'importance du critère de convergence suivant, qui ne fait pas intervenir la valeur de la limite : une suite ( u n ) de nombres réels est convergente si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que  : (cf. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/#i_33385

MONTEL PAUL (1876-1975)

  • Écrit par 
  • Pierre LELONG
  •  • 1 014 mots

Mathématicien français né à Nice et mort à Paris. À dix-huit ans, Paul Montel entre à l'École normale supérieure. Il sera, dans la promotion 1894, le condisciple de Paul Langevin et d'Henri Lebesgue, qui tous deux demeureront ses amis. Après l'agrégation et le service militaire à Nice, Paul Montel est professeur de mathématiques spéciales à Poitiers (1898-1901). Sa thèse de doctorat mûrit lenteme […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/paul-montel/#i_33385

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 094 mots

Dans le chapitre « Continuité d'une application linéaire »  : […] Soit E et F des espaces vectoriels normés sur K (égal à R ou C ) et : une application linéaire , c'est-à-dire telle que : quels que soient x ∈ E et λ, μ ∈ K. Les trois conditions suivantes, apparemment de plus en plus fortes, sont en fait équivalentes : (1) L'application u est continue au point 0 ∈ E ; […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/#i_33385

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 363 mots
  •  • 3 médias

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M 0 M varie continûment et, si M tend vers M 0 , la corde M 0 M a une position limite qui est T. En disant q […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/#i_33385

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « CONTINUITÉ, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/continuite-mathematique/