EULER (CONJECTURE D')

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En 1769, le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) proposait une conjecture généralisant le dernier théorème de Fermat. En 1966, les informaticiens américains Leon J. Lander et Thomas R. Parkin de la compagnie Aerospace à El Segundo (Californie) utilisèrent un ordinateur pour démontrer qu’elle était fausse.

Vers 1630, le magistrat et mathématicien Pierre de Fermat (1601-1665) note sur son exemplaire de la traduction d’Aritmetika du mathématicien grec Diophante d’Alexandrie (iie ou iiie siècle de notre ère) que l’équation xn + yn = zn est impossible en nombres entiers pour tout n supérieur à 2. Ce « théorème » de Fermat ne fut démontré de façon vérifiable qu’en 1994 par Andrew Wiles. Euler généralisait cet énoncé en disant qu’il n’existe pas d’ensemble de k nombres entiers non nuls tels que la somme de leurs puissances n-ième soit la puissance n-ième d’un autre entier, si n est supérieur à k.

Énoncer une conjecture n’est pas un acte bénin pour un mathématicien aussi exceptionnel qu’Euler, dont les nombreux travaux avaient une renommée internationale et qui, à l’époque, siégeait à l’académie de Saint-Petersbourg fondée quarante-quatre ans plus tôt par l’impératrice Catherine. La théorie des nombres n’était pas au xviiie siècle un domaine d’intenses recherches mais Euler essaya toute sa vie de prouver les résultats cités par Fermat. Il parvint à démontrer ce qu’on appelle le « petit théorème de Fermat », selon lequel ap-1  1 est divisible par p si p est un nombre premier qui ne divise pas a (ainsi 26 – 1 = 63 ; 63 est divisible par 7). Euler démontra aussi en 1770 le dernier théorème de Fermat d [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au CNRS, centre de physique théorique de l'École polytechnique, Palaiseau

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Bernard PIRE, « EULER (CONJECTURE D') », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 novembre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/euler-conjecture-d/