L'algèbre s'appuie sur les structures algébriques, comme la topologie et l'analyse s'appuient sur les structures topologiques, leurs rencontres générant la topologie algébrique, la géométrie algébrique, etc.
Avant de passer en revue, sans aucune démonstration mais dans un ordre logique, les principales structures algébriques, nous tenterons une présentation de la notion même de structure mathématique, fondamentale mais si délicate à définir purement mathématiquement et d'une façon rigoureuse que sa présentation même est souvent esquivée. Évoquant la question des abus de langage – que nous nous efforcerons d'éviter –, nous proposerons aussi, dans une perspective pédagogique, de marquer clairement certaines distinctions à l'aide de traits d'union dûment justifiés.
Bien que le formalisme poussé de Nicolas Bourbaki (pseudonyme collectif d'un ensemble de mathématiciens – l'Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki – fondé en 1935 par Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt et André Weil, et qui s'autorenouvelle depuis) ne soit pas entièrement approuvé par tous les mathématiciens, notre exposé sera fondé sur la notion de structure au sens de Bourbaki, ce qui ne nous empêchera pas de définir certaines espèces de structures dont il ne parle pas ou d'éviter certains abus de langage qu'il commet. Lorsque nous commençons une phrase par « Appelons », nous proposons un nom que nous n'avons pas trouvé, ou pas trouvé avec ce sens, dans la littérature mathématique.
1. Notion de structure mathématique
• Rappels préliminaires
Ensembles, parties, couples, multiplets
Rappelons tout d'abord que la locution « objet mathématique » désigne toute notion que l'on définit ou étudie en mathématique et que les noms « élément » et « ensemble » sont, du moins dans certaines théories, presque synonymes d'« objet mathématique » : lorsque deux objets mathématiques a et b peuvent être reliés par la relation d'appartenance, notée par le signe ∈, on écrit a ∈ b (lu « a a […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 43 pages…
