Le calcul des probabilités classique s'applique à des épreuves où chaque résultat possible (ou éventualité) est un nombre. Or il existe beaucoup de situations réelles relevant de modèles aléatoires, mais d'une nature plus complexe. Considérons, par exemple, l'évolution d'une rivière : en raison du caractère périodique du phénomène, on peut l'étudier au cours d'une année, et, dans ce cas, une épreuve consiste à observer les débits au cours d'une année entière. Un événement élémentaire (une éventualité) est alors une fonction t ↦ x qui, au temps t, compté en année et variant de 0 à 1, associe le débit x(t ) à la date t.
Comme autres exemples citons : le développement d'une population (évolution de l'effectif de la population en fonction du temps) ; la propagation d'une épidémie ; l'évolution de la demande d'un bien par une clientèle ; la variation du nombre de clients présents à un poste de service, etc. Ainsi, en physique, en biologie, dans les sciences humaines et même en musique, on est conduit fréquemment à s'intéresser à des évolutions d'une grandeur au cours du temps où le « hasard » intervient à chaque instant. La réalisation de l'épreuve est une fonction du temps. Le modèle mathématique est une fonction aléatoire, mais dont l'argument est le temps, d'où la définition donnée au chapitre 1. L'étude des épreuves répétées en calcul des probabilités avait conduit P. S. Laplace, J. Bernoulli et A. de Moivre à considérer des suites aléatoires additives et stationnaires, c'est-à-dire telles que les différences (Xn+1 − Xn) soient mutuellement indépendantes et parentes. Seuls S. D. Poisson et P. L. Tchebychev s'étaient intéressés à des suites non stationnaires. Suivant une autre voie, F. Galton et H. W. Watson, en étudiant l'extinction des familles, introduisent, en 1874, les processus dits de ramifications (où Xn+1 est la somme de Xn variables aléatoires entières indépendantes et parentes) ; puis A. A. Markov étudie, de 1907 à 1912, des « cas remarquables d'épreuves dépendantes ».
Ainsi, au xxe siècle, la t […]
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