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STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES

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2.  Processus ponctuels

Un processus ponctuel concerne les instants où se réalisent des événements instantanés d'une classe particulière : par exemple, les débuts de pannes d'un ensemble de machines, les instants d'arrivée d'un mobile à un système de contrôle, les instants de naissance d'une particule ou d'un individu d'une population. Une réalisation d'un tel processus est décrite par la donnée d'une suite croissante d'instants t1, t2 ..., (ceux où se réalise le phénomène) ou par une suite de points P1, P2,... sur l'échelle des temps, avec OPn = tn, d'où la dénomination de processus ponctuel.

On peut associer à un tel processus un processus numérique Xt, où X représente le nombre d'événements obtenus sur [0, t ]. La fonction aléatoire Xt est un cas particulier de processus numérique : elle croît par sauts de une unité en des instants aléatoires (discontinuités mobiles). Toutefois, l'origine particulière de ce type de processus conduit à le définir de manière mieux adaptée aux besoins.

Définition par nombres d'événements sur un ensemble d'intervalles disjoints. Soit k intervalles disjoints ]ti′, ti″], avec i = 1, 2, ..., k, et soit Ni le nombre d'événements obtenus sur ]ti′, ti″], c'est-à-dire Ni = Xti″ − Xti′. On donne, pour tout k et pour tout ensemble {ti′, ti″}i, la loi jointe de {N1, N2, ..., Nk}.

Définition par intervalles successifs. Posons U1 = t1 et U […]

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HASARD

Écrit par :  Bertrand SAINT-SERNIN

Dans le chapitre "Imprévisibilité et mathématisation"  : …  du hasard par des procédures mathématiques : si, en effet, on pouvait, par un procédé arithmétique, construire* une suite de nombres aléatoires, celle-ci satisferait à un certain nombre de tests statistiques et mériterait à cet égard d'être appelée suite aléatoire ; toutefois, elle ne posséderait pas la seconde propriété essentielle du hasard, son… Lire la suite
HYDROLOGIE

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Dans le chapitre "Les modèles mathématiques"  : …  . Dans les premiers, on ne se préoccupe pas des processus physiques à l'œuvre dans la production du phénomène étudié. On se contente d'établir une relation entre variables explicatives et variables expliquées. C'est, par exemple, le cas des modèles (*stochastiques) autorégressifs d'ordre p, souvent utilisés pour modéliser les débits… Lire la suite
ITO KIYOSHI (1915-2008)

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KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

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Dans le chapitre "Calcul des probabilités"  : …  premiers résultats sont dus à Markov sous des conditions fortes d'indépendance et de stationnarité. *Dans un mémoire fondamental de 1931, Kolmogorov pose les premières bases de la théorie générale des processus stochastiques (continus). Toute l'étude analytique repose sur une équation intégrale universelle dite équation de Chapman-Kolmogorov.… Lire la suite
LÉVY PAUL (1886-1971)

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… *Mathématicien français né et mort à Paris. Ingénieur au corps des Mines, docteur ès sciences en 1912, Paul Lévy enseigna l'analyse à l'École polytechnique de 1920 à 1959, ainsi que l'analyse et la mécanique à l'École nationale supérieure des mines de 1914 à 1951. Il fut élu à l'Académie des sciences en 1964. De 1905 à 1951, il publia dix ouvrages… Lire la suite
MARKOV ANDREÏ ANDREÏEVITCH (1856-1922)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien russe né à Riazan et mort à Petrograd. Andreï Andreïevitch Markov est connu comme un spécialiste de la théorie des nombres, de la théorie des probabilités et de l'analyse mathématique. Issu d'une famille d'un petit fonctionnaire du gouvernement, il fait ses études à l'université de Saint-Pétersbourg et reçoit une médaille d'or pour… Lire la suite
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Dans le chapitre "Variabilité des populations naturelles"  : …  débat sur le rôle relatif de la densité-dépendance, phénomène déterministe par excellence, et des *phénomènes stochastiques dans les fluctuations des populations s'est trouvé relancé depuis les années 1980 avec l'apparition de modèles présentant un comportement dit « chaotique ». L'exemple le plus simple concerne un modèle logistique en temps… Lire la suite

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Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov

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