Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (ve s. avant J.-C.) a établi qu'un entier qui n'est pas le carré d'un entier n'est pas non plus le carré d'un nombre rationnel. Le dixième livre des Éléments d'Euclide est consacré à l'étude et à la classification des grandeurs irrationnelles rencontrées dans les constructions géométriques.
Les recherches sur les équations algébriques ont toujours été inséparables de problèmes touchant la nature des solutions de ces équations. Durant le xviiie siècle, il fut établi que les n racines d'une équation algébrique de degré n à coefficients réels étaient des nombres complexes (cf. nombres complexes). On appelle maintenant nombre algébrique tout nombre complexe qui est racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels : ainsi √2, racine de l'équation x2 − 2 = 0, ou bien i, racine de l'équation x2 + 1 = 0, ou encore e2iπ/n, racine de xn − 1 = 0, sont des nombres algébriques ; au contraire e, π, log 2 ou ii ne sont pas des nombres algébriques (cf. nombres transcendants).
1. Équations diophantiennes
Les problèmes de théorie des nombres conduisant à résoudre des équations de degré ≥ 2 ont progressivement montré la nécessité d'étudier les propriétés arithmétiques des nombres algébriques et de bâtir ainsi une extension de l'arithmétique élémentaire. Le premier de ces problèmes est probablement celui qu'Euler a improprement attribué à Pell : il s'agit de résoudre en nombre entiers x et y l'équation x2 − Dy2 = ± 1, où D est un entier positif donné, sans facteur carré. Euler remarqua très tôt que cette équation peut encore s'écrire :[…]
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