3. Unités
Dans une série de courtes notes, Dirichlet (1841-1846) a étudié les unités dans des anneaux de nombres algébriques de la forme Z[θ], où θ vérifie une équation irréductible xn + a1xn-1 + ... + an = 0 à coefficients ai entiers rationnels ; si les racines de cette équation sont θ, θ1, ..., θn-1, les conjugués d'un élément f (θ) de Z[θ] sont f (θ1), ..., f (θn-1), et sa norme est le produit Nf (θ) = f (θ)f (θ1) ... f (θn-1). Les unités de Z[θ] sont les éléments f (θ) de norme ± 1 (la norme est toujours un entier rationnel, mais elle peut être négative dans ce cas général) ; parmi les unités, les racines de 1 qui appartiennent à Z[θ] sont caractérisées par |f (θ)| = |f (θ1)| = ... = |f (θn-1)| = 1. En effet, si f (θ) vérifie ces conditions, il en est de même de ses puissances f (θ)k, k ∈ N, dont tous les conjugués restent donc bornés. Or l'ensemble des éléments de Z[θ] dont les conjugués sont tous majorés par une constante M est fini, car ces éléments sont les racines d'un nombre fini d'équations de degré n (leurs coefficients sont les fonctions symétriques élémentaires des conjugués, donc ce sont des entiers rationnels majorés en fonction de M et de n) ; il n'y a donc qu'un nombre fini de puissances f (θ)k distinctes, et f (θ)l = 1 pour l convenable. Les racines de l appartenant à Z[θ] forment un groupe fini cyclique pour la multiplication ; la finitude provient du résultat précédent, et le caractère cyclique du fait que, pour tout l, il y a au plus l solutions de l'équation xl = l dans C, donc dans Z[θ] (cf. groupes (mathématiques) - Généralités). L'énoncé fondamental de Dirichlet est le suivant :
Théorème. Soit r1
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