Introduits à l'origine comme symboles purement formels destinés à rendre compte des propriétés des équations algébriques, les nombres imaginaires sont d'un usage courant au xviiie siècle, mais ce n'est qu'au siècle suivant qu'ils seront définis et utilisés correctement, avec la rigueur qui caractérise les préoccupations des mathématiciens du xixe siècle. Et c'est alors le prodigieux essor de la théorie des fonctions d'une variable complexe et l'entrée en force des imaginaires dans presque tous les domaines des mathématiques. De nos jours, les nombres complexes interviennent de manière essentielle, comme un cadre naturel, dans maintes théories mathématiques et physiques.
1. Historique
• Les nombres « impossibles »
Alors que de nombreux mathématiciens (dont Viète) hésitaient encore à utiliser les nombres négatifs, les algébristes italiens du xvie siècle, Cardan et ses élèves, s'enhardirent à introduire dans les calculs des symboles purement formels √− a, a > 0, représentant le résultat de l'extraction « impossible » de la racine carrée du nombre négatif − a ; ils décrivent en détail des règles de calcul permettant de manipuler ces nouveaux « nombres », appelés par eux nombres impossibles.
À l'origine, il s'agissait seulement de donner des racines à toutes les équations du second degré ; les résultats obtenus dans l'étude de l'équation du troisième degré allaient familiariser les mathématiciens avec ces symboles et mettre en évidence leur rôle comme intermédiaire commode de calcul dans de nombreux cas. Au moyen de la formule dite de Cardan, Bombelli montre, en 1572, que la racine x = 4 de l'équation x3 = 15 x + 4 peut s'écrire :
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