4. Corps de nombres algébriques
Dedekind (1871, 1893) a étendu les théories précédentes en développant les notions de corps de nombres algébriques et d'entiers algébriques. Un corps de nombres algébriques est une extension finie du corps Q des nombres rationnels ; un tel corps peut s'écrire K = Q(θ), où θ vérifie une équation algébrique irréductible f (x) = 0, de degré n, à coefficients rationnels (cf. corps mathématiques), et chacune des n racines complexes de f définit un plongement de K dans le corps C des nombres complexes. On note r1 le nombre des racines réelles, qui donnent des plongements de K dans R, et 2r2 le nombre de racines complexes (paires de racines complexes conjuguées) ; en tant qu'espace vectoriel sur Q, K est de dimension n, avec 1, θ, θ2, ..., θn-1 comme base (division euclidienne ; cf. polynômes). Si g(θ) ∈ K, on appelle conjugués de g(θ) les n nombres complexes g(θ1), g(θ2), ..., g(θn), où θ1, θ2, ..., θn sont les racines de f (x) = 0 ; ce sont tous des nombres algébriques.
• Entiers algébriques
Parmi les nombres algébriques, les entiers algébriques sont définis de manière à former un anneau dont l'intersection avec Q soit réduite à Z ; on veut de plus que tous les conjugués d'un entier algébrique (c'est-à-dire les racines de son équation minimale à coefficients rationnels) soient encore entiers. Alors les coefficients de l'équation minimale d'un entier algébrique sont des entiers algébriques rationnels, c'est-à-dire des éléments de Z ; on définit donc les entiers algébriques comme les racines d'équations à coefficients entiers rationnels, avec un coefficient dominant 1, et il est facile de voir que l'équation minimale d'un tel nombre a encore ses coefficients entiers ( […]
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