7. Divisions de l'octave en parties égales
Ni tous les musiciens ni tous les théoriciens ne se montrèrent et ne se montrent encore satisfaits d'un système dans lequel toutes les divisions de l'octave sont égales. Jusqu'à la fin du xviiie siècle, divers tempéraments furent employés (on appelait tempérament tout système dans lequel on sauvegardait la justesse d'un certain nombre de quintes et de tierces tout en en sacrifiant quelques-unes). En revenant à la règle générale par laquelle on s'efforce d'obtenir simultanément des octaves et des quintes justes, on cherchera donc quelles sont les puissances de 3/2 qui sont les plus voisines d'une puissance de 2. Werckmeister avait déjà remarqué que (3/2)12 est voisin de 27 ; mais d'autres divisions de l'octave sont possibles ; on peut notamment citer les suivantes : 31, puisque (3/2)31 est voisin de 218 ; 41, puisque (3/2)41 est voisin de 224 ; et 53, puisque (3/2)53 est très proche de 231. Dans les années 1950, Adriaan Fokker construisit à Haarlem un orgue à trente et un degrés par octave. Dans la seconde moitié du xixe siècle, Pál Janko, à Prague, réalisa des pianos à quarante et un degrés par octave dont le clavier se composait de six rangées de touches superposées ! Mais, sans qu'on ait jamais essayé de construire un instrument à cinquante-trois touches par octave (nous n'avons que dix doigts...), il semble que ce soit la division de l'octave en cinquante-trois parties égales qui se soit montrée la plus intéressante. C'est elle, en effet, qui génère un tempérament dans lequel on trouve deux demi-tons, l'un dit chromatique et l'autre diatonique, qui valent respectivement 5 et 4 cinquante-troisièmes d'octave. Par abus de langage, le cinquante-troisième d'octave est ici appelé aussi comma. On a alors la gamme suivante (l'intervalle entre deux notes étant donné en cinquante-troisièmes d'octave) :
ut 5 ut♯ 4 ré 5 ré♯ 4 mi 4 fa 5
fa♯ 4 sol 5 sol♯ 4 la 4 si♭ 5 si […]
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