6. Werckmeister et la gamme tempérée
Les divers inconvénients que présentent les gammes de Pythagore et de Zarlino ont pour origine le problème suivant : comment faire coexister, dans un même système, des quintes justes et des octaves justes ? Or, un raisonnement élémentaire permet de voir que ce problème n'a pas de solution. En effet, les quintes sont le résultat d'une itération du rapport 3 et les octaves celui d'une itération du rapport 2. Il faudrait donc découvrir une puissance de 3 qui soit égale à une puissance de 2. Comme les puissances de 3 sont toujours des nombres impairs (se terminant par 1, 3, 7 ou 9) et que les puissances de 2 sont toujours des nombres pairs, il n'existe pas de solution. Cependant, à la fin du xviie siècle, Andreas Werckmeister (1645-1706) parvint à trouver un compromis qui, une fois de plus, résultait d'un effort de généralisation et que, depuis lors, on utilise sous le nom de gamme tempérée.
Dans le système pythagoricien de génération des intervalles par quintes, on s'aperçoit que, à partir de la douzième quinte, on retrouve, à peu près, la septième octave de la note de départ :
1 3/2 9/4 27/8 81/16 243/32 729/64
ut sol ré la mi si fa♯
2 187/128 6 561/256 19 683/512
ut♯ sol♯ ré♯
59 049/1 024 177 147/2 048 531 441/4 096
la♯ mi♯ si♯ (ou ut)
étant la suite des quintes, et la suite des puissances de 2 :
1 2 4 8 16 32 64 128
ut0 ut1 ut2 ut3 ut4 ut5 ut6 ut7
étant celle des octaves. On voit que le rapport 531 441/4 096 = 129,746 est légèrement plus grand que le rapport 128. C'est donc par une approximation exigée par la pratique que l'on identifie le si dièse à l'ut ; la différence qui les sépare est appelée comma pythagoricien. L'idée de Werckmeister est alors d'une géniale simplicité : il décide de répartir cette petite différence de telle sorte que, chaque quinte étant raccourcie de 1/12 de comma pythagoricien, la note engendrée par la douzième quinte corresponde à celle que donne la septième octave. Autrement dit, il pose […]
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