VIBRATIONS MÉCANIQUES

On dit qu'un ensemble mécanique est le siège de vibrations s'il est animé de petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre. Une vibration est définie à l'aide de une ou de plusieurs fréquences ; elle est également caractérisée par son amplitude.

La vibration la plus simple peut être traduite mathématiquement à l'aide de la fonction sinusoïdale A cos ω(t + τ) ou A cos(ωt + ϕ) ; la fréquence f est le nombre de fois que le phénomène se reproduit en une seconde :

où T est appelée période de la vibration ; l'amplitude est la valeur maximale |A| prise par la fonction sinusoïdale et ω est la pulsation de cette fonction sinusoïdale.

De manière générale, les vibrations rencontrées dans la pratique ne sont pas représentables par une seule fonction sinusoïdale : souvent, ce sont des sommes de plusieurs fonctions de ce type ayant chacune une fréquence et une amplitude ; ces fonctions sinusoïdales sont les composantes de la vibration étudiée.

Si les pulsations des composantes sont des multiples entiers nΩ de la plus basse d'entre elles (soit Ω), la vibration qui leur correspond est dite périodique et de période T = 2 π/Ω, car elle reprend la même valeur aux deux dates t et t + T ; si les pulsations des composantes n'obéissent pas à cette loi simple, la vibration n'est pas périodique (cas, par exemple, où il existe deux composantes dont les pulsations sont Ω et Ω√3).

Dans cet article, on ne traitera que des vibrations dont la valeur à toute date peut, par hypothèse, être déterminée si l'on connaît les valeurs prises par les paramètres de situation q de l'ensemble mécanique considéré et par leurs dérivées q′ à une date arbitraire (par exemple, la date du début de l'expérience). Mais il existe d'autres vibrations, dites aléatoires, pour lesquelles cette valeur à toute date ne peut être exprimée à l'aide de fonctions numériques habituelles (dont une fonction sinusoïdale n'est qu'un des exemples les plus simples) ; dans l'analyse de telles vibrations seules peuvent être déterminées des probabilités sur les valeurs prises par l'amplitude et la fréquence (détermination du profil d'une route par enregistrement des vibrations sur un camion-laboratoire ; problème analogue pour les caténaires des chemins de fer électrifiés). Le contenu mathématique mis en jeu dans ces conditions est tout à fait différent de celui auquel fait appel l'étude des vibrations entrant dans le schéma usuel (dit déterministe) qui sera le seul envisagé dans la suite de cet exposé.

Le problème des vibrations d'ensembles mécaniques complexes doit être rattaché à certains schémas simplificateurs : le plus simple d'entre eux est constitué d'une masse et d'un ressort ; la vibration de ce modèle peut être libre ou forcée.

Si la vibration est libre, aucun apport d'énergie n'est fourni à l'ensemble mécanique au cours de son évolution, et la vibration résulte de perturbations initiales telles que celles qui seront décrites dans les essais élémentaires. Si ce modèle élémentaire n'est l'objet d'aucun amortissement, la vibration est périodique, ce qui constitue un schéma idéal de la réalité (l'échelle moléculaire des phénomènes naturels en fournit toutefois quelques exemples). Dans la plupart des ensembles mécaniques concrètement rencontrés, l'amortissement a pour effet une décroissance de l'amplitude de la vibration qui tend, en un délai plus ou moins long, vers une valeur nulle ; de telles vibrations, qui disparaissent ainsi au bout d'un certain temps, sont dites vibrations transitoires.

Par opposition aux vibrations libres qui viennent d'être définies, les vibrations forcées se répètent de manière périodique par apport extérieur d'une énergie qui se substitue dans l'ensemble mécanique à l'énergie dissipée par amortissement. En général, la fréquence de la vibration forcée est liée de manière simple à la fréquence de distribution de l'énergie par le réservoir extérieur.

Dans de nombreuses vibrations, les chocs interviennent : l'ensemble mécanique peut être soumis à un seul choc à une date déterminée ; il en résulte alors une vibration libre parce que, du fait de ce choc, les dérivées q′ des variables de position q prennent des valeurs non nulles à la date de choc (cas, par exemple, d'un pendule sur lequel vient buter un autre pendule : pendule constitué d'un fil et d'une boule d'ivoire venant heurter un autre pendule analogue) ; l'ensemble mécanique peut être soumis à des chocs répétés et la fréquence de leur répétition réagit su [...]

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