VIBRATIONS MÉCANIQUES

On dit qu'un ensemble mécanique est le siège de vibrations s'il est animé de petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre. Une vibration est définie à l'aide de une ou de plusieurs fréquences ; elle est également caractérisée par son amplitude.

La vibration la plus simple peut être traduite mathématiquement à l'aide de la fonction sinusoïdale A cos ω(t + τ) ou A cos(ωt + ϕ) ; la fréquence f est le nombre de fois que le phénomène se reproduit en une seconde :

De manière générale, les vibrations rencontrées dans la pratique ne sont pas représentables par une seule fonction sinusoïdale : souvent, ce sont des sommes de plusieurs fonctions de ce type ayant chacune une fréquence et une amplitude ; ces fonctions sinusoïdales sont les composantes de la vibration étudiée.

Si les pulsations des composantes sont des multiples entiers nΩ de la plus basse d'entre elles (soit Ω), la vibration qui leur correspond est dite périodique et de période T = 2 π/Ω, car elle reprend la même valeur aux deux dates t et t + T ; si les pulsations des composantes n'obéissent pas à cette loi simple, la vibration n'est pas périodique (cas, par exemple, où il existe deux composantes dont les pulsations sont Ω et Ω√3).

Dans cet article, on ne traitera que des vibrations dont la valeur à toute date peut, par hypothèse, être déterminée si l'on connaît les valeurs prises par les paramètres de situation q de l'ensemble mécanique considéré et par leurs dérivées q′ à une date arbitraire (par exemple, la date du début de l'expérience). Mais il existe d'autres vibrations, dites aléatoires, pour lesquelles cette valeur à toute date ne peut être exprimée à l'aide de fonctions numériques habituelles (dont une fonction sinusoïdale n'est qu'un des exemples les plus simples) ; dans l'analyse de telles vibrations seules peuvent être déterminées des probabilités sur les valeurs prises par l'amplitude et la fréquence (détermination du profil d'une route par enregistrement des vibrations sur un camion-laboratoire ; problème analogue pour les caténaires des chemins de fer électrifiés). Le contenu mathématique mis en jeu dans ces conditions est tout à fait différent de celui auquel fait appel l'étude des vibrations entrant dans le schéma usuel (dit déterministe) qui sera le seul envisagé dans la suite de cet exposé.

Le problème des vibrations d'ensembles mécaniques complexes doit être rattaché à certains schémas simplificateurs : le plus simple d'entre eux est constitué d'une masse et d'un ressort ; la vibration de ce modèle peut être libre ou forcée.

Si la vibration est libre, aucun apport d'énergie n'est fourni à l'ensemble mécanique au cours de son évolution, et la vibration résulte de perturbations initiales telles que celles qui seront décrites dans les essais élémentaires. Si ce modèle élémentaire n'est l'objet d'aucun amortissement, la vibration est périodique, ce qui constitue un schéma idéal de la réalité (l'échelle moléculaire des phénomènes naturels en fournit toutefois quelques exemples). Dans la plupart des ensembles mécaniques concrètement rencontrés, l'amortissement a pour effet une décroissance de l'amplitude de la vibration qui tend, en un délai plus ou moins long, vers une valeur nulle ; de telles vibrations, qui disparaissent ainsi au bout d'un certain temps, sont dites vibrations transitoires.

Par opposition aux vibrations libres qui viennent d'être définies, les vibrations forcées se répètent de manière périodique par apport extérieur d'une énergie qui se substitue dans l'ensemble mécanique à l'énergie dissipée par amortissement. En général, la fréquence de la vibration forcée est liée de manière simple à la fréquence de distribution de l'énergie par le réservoir extérieur.

Dans de nombreuses vibrations, les chocs interviennent : l'ensemble mécanique peut être soumis à un seul choc à une date déterminée ; il en résulte alors une vibration libre parce que, du fait de ce choc, les dérivées q′ des variables de position q prennent des valeurs non nulles à la date de choc (cas, par exemple, d'un pendule sur lequel vient buter un autre pendule : pendule constitué d'un fil et d'une boule d'ivoire venant heurter un autre pendule analogue) ; l'ensemble mécanique peut être soumis à des chocs répétés et la fréquence de leur répétition réagit sur le mouvement vibratoire de l'ensemble considéré (cas d'un enfant sur une balançoire qui se trouve poussé, à plusieurs reprises, par une personne en appui sur le sol ; cas d'une mitrailleuse tirant sur un pendule balistique).

Le plus souvent, les chocs ou toute autre excitation entraînent des vibrations qui peuvent être considérées comme parasites et qu'il y a donc lieu d'éliminer ou de réduire de manière à les rendre supportables ou non dangereuses. Cette élimination ou cette réduction peut se faire soit à la source même des vibrations, soit dans un environnement plus ou moins proche de cette source, le choix de l'emplacement du système antivibratile étant une question d'opportunité technologique.

Schématisations en mécanique vibratoire

Le problème général des vibrations d'un ensemble mécanique (D) procède, d'une part, de la linéarisation des équations du mouvement de cet ensemble, d'autre part, du choix du schéma d'étude représentatif de cet ensemble et, enfin, des précisions concernant les interactions entre cet ensemble et son environnement immédiat constituant les appuis du système étudié qui sont supposés fixes ou animés de mouvements connus.

La technique de la linéarisation appartient au domaine des mathématiques ; quant au choix du schéma d'étude, il se fait à partir des réponses aux questions suivantes :

– Quels sont les sous-ensembles du système étudié que l'on peut considérer comme indéformables et, par suite, situer à l'aide d'un nombre fini de paramètres ?

– Quels sont les sous-ensembles pour lesquels cette hypothèse d'indéformabilité est certainement à rejeter, et pour lesquels il faudra prévoir un nombre infini de paramètres de situations ?

– Quels sont les sous-ensembles du système étudié dont les masses peuvent être considérées comme négligeables (transmetteur d'efforts) devant la masse totale de l'ensemble ?

– Quels sont les dispositifs à prévoir pour immobiliser certains des sous-ensembles les uns par rapport aux autres et, plus généralement, pour faire intervenir dans l'ensemble étudié des liaisons édictées à l'avance de manière à rendre possibles les déterminations des caractéristiques mécaniques de chacune des parties de l'ensemble étudié ?

Dans un problème de vibrations, l'ensemble matériel constitue un récepteur qui admet un état d'équilibre ou, plus généralement, un état de mouvement stationnaire. Lorsque ce récepteur est en équilibre, il n'est soumis, de la part de son environnement (ou générateur d'efforts), qu'à des torseurs qui restent constants au cours du temps. On prend comme hypothèse de travail que le récepteur est sans effet sur l'état dynamique du générateur ; si cette hypothèse se révélait inadéquate, il faudrait considérer le récepteur et le générateur comme un nouvel ensemble mécanique dont les appuis se trouveraient ainsi reculés dans le monde extérieur.

Tous les problèmes qui se posent à propos des ensembles mécaniques vibrants se ramènent au suivant, qui est fondamental : étant donné un ensemble mécanique susceptible d'entrer en vibration, quelle est sa réponse à une excitation quelconque dont on fait l'hypothèse qu'elle est connue en fonction du temps ?

Cette excitation, qui introduit des fonctions connues du temps dans les seconds membres des équations du système, peut revêtir des formes très variées : ébranlement accidentel (cas des ensembles dont l'état normal est l'équilibre : par exemple, rafale sur une aile d'avion), excitation périodique (cas général des ensembles subissant l'influence d'organes tournants tels que moteurs, hélices, turbines), excitation quelconque (cas d'un grand nombre d'appareils en fonctionnement normal : instruments de mesure, asservissements, etc.). Comme la nature physique des ensembles mécaniques est elle-même très variée, on voit la très grande diversité des problèmes pratiques qui se présentent à l'ingénieur comme autant de cas particuliers du problème fondamental.

La solution du problème fondamental, pour un système linéaire vibrant au voisinage de sa position d'équilibre, se rattache très simplement à quelques tests qui seront explicités ci-dessous. En effet, le système d'équations différentielles dont dépend cette solution étant linéaire :

– toute solution est la somme de la vibration libre correspondant aux conditions initiales données et de la vibration forcée et due à l'excitation donnée ;

– si l'on sait décomposer les conditions initiales en conditions particulières pour lesquelles la vibration libre du système est connue, il suffit d'additionner les fonctions qui correspondent à chacune de ces vibrations pour obtenir la vibration libre relative aux conditions initiales données ;

– si l'on sait décomposer l'excitation en excitations particulières pour lesquelles la réponse du système, à partir de l'équilibre, est connue, il suffit d'additionner ces réponses pour avoir la solution, à partir de l'équilibre, correspondant à l'excitation donnée.