VIBRATIONS MÉCANIQUES

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Vibrations des systèmes continus

Dans un certain nombre de problèmes de vibrations posés à l'ingénieur, il arrive que le schéma ne puisse pas être étudié à l'aide d'un nombre fini de degrés de liberté : cordes, plaques et membranes, barres, etc. On dit alors que l'ensemble mécanique est susceptible d'un schéma continu. L'étude de telles vibrations fait intervenir des équations aux dérivées partielles qui sont généralement intégrées par le procédé de séparation entre les variables de situation et la variable t.

Les résultats essentiels sont indiqués sans démonstration à propos des exemples fondamentaux.

Vibrations d'une corde

Les vibrations d'une corde sont représentées sur la figure. L'équation de propagation s'écrit :

λ étant la masse spécifique linéique de la corde.

Vibrations d'une corde

Dessin : Vibrations d'une corde

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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On cherche une solution de la forme :

et l'on obtient :

Vibrations d'une membrane

Soit une membrane parfaitement flexible tendue sur un contour plan (C) situé dans (xOy), comme peut l'être une broderie dans un cadre en cours d'ouvrage. À l'équilibre, la membrane est située dans le plan (xOy), à l'intérieur de (C), et elle est tendue par une force que l'on supposera uniforme sur (C) et normale à (C) : P désigne l'intensité de la force exercée par l'unité de longueur de (C) sur la membrane.

Lorsque la membrane vibre, la parcelle de cette membrane qui, à l'équilibre, a pour coordonnées (x, y, 0) est située à la date t au point M′ de coordonnées x, y, z(x, y, ). L'équation aux dérivées partielles de telles vibrations est :

où μ est la masse spécifique surfacique de la membrane.

On cherche une solution de la forme :

et l'on trouve :

Vibrations longitudinales d'une barre prismatique

Le déplacement u(x, t ) de la section droite d'une barre prismatique qui a pour abscisse x à l'équilibre est régi par l'équation aux dérivées partielles :

Barre prismatique : déplacement

Dessin : Barre prismatique : déplacement

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Le matériau dont la barre est constituée a pour module de Young E et pour masse spécifique volumique ρ. Cette équation aux dérivés partielles s'intègre de la même manière que celle d'une corde vibrante.

Vibrations de torsion d'une pièce cylindrique

L'angle α dont tourne une section d'absciss [...]

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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, « VIBRATIONS MÉCANIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/vibrations-mecaniques/