VIBRATIONS MÉCANIQUES

Vibrations d'un ensemble mécanique à deux degrés de liberté

Les équations des vibrations libres d'un tel ensemble :

ainsi que les techniques d'obtention de la solution d'un tel système différentiel ont été explicitées dans l'article oscillateurs.

Aussi bornerons-nous l'exposé actuel à quelques exemples permettant de mettre en jeu certaines notions nouvelles et une terminologie usuelle (quoique non significative).

Exemple de deux pendules

Deux pendules identiques (S₁) et (S₂) oscillent, dans un même plan vertical, autour de deux axes horizontaux parallèles. Ils sont réunis par un ressort de traction-compression (R). On se propose d'étudier les petits mouvements du système autour de sa position d'équilibre.

Les articulations (O₁) et (O₂) sont supposées parfaites :

On désigne par m la masse de chacun des pendules, par C le moment d'inertie de S₁ par rapport à O₁z et de S₂ par rapport à O₂z. On pose :

d'autre part, les points d'accrochage du ressort sont définis par :à l'équilibre, on a α = β = 0.

Les équations du mouvement sont :

On remarque que, si l'on pose :

les variables p₁ et p₂ sont solutions de :qui ne sont pas couplées. En posant :on trouve :

De ces résultats on déduit les valeurs de α(t ) et de β(t ) que présente le tableau.

Si, pour t = 0, on a :

il en résulte :

Les pendules partent et oscillent en phase ; ils restent parallèles et le ressort (R) ne joue aucun rôle. Si, à t = 0, on a :

on en déduit :

Dans ce cas, les pendules partent et oscillent en opposition et le point M situé au milieu du ressort est fixe.

Les variables p₁ et p₂ qui se sont introduites très naturellement dans cette étude sont appelées paramètres normaux du système. Chaque fois (comme c'est le cas dans cet exemple) que le système différentiel régissant les vibrations libres d'un ensemble à deux degrés de liberté se présente sous la forme :

on dit que les variables ε₁ et ε₂ sont couplées par élasticité pour exprimer que, dans la première équation, le terme pendulaire en ε₁ (soit a₁₁ε₁″ + c₁₁ε₁) est accompagné d'un terme proportionnel à ε₂ et que, dans la seconde équat [...]

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