VIBRATIONS MÉCANIQUES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Vibrations d'un ensemble mécanique à deux degrés de liberté

Les équations des vibrations libres d'un tel ensemble :

ainsi que les techniques d'obtention de la solution d'un tel système différentiel ont été explicitées dans l'article oscillateurs.

Aussi bornerons-nous l'exposé actuel à quelques exemples permettant de mettre en jeu certaines notions nouvelles et une terminologie usuelle (quoique non significative).

Exemple de deux pendules

Deux pendules identiques (S1) et (S2) oscillent, dans un même plan vertical, autour de deux axes horizontaux parallèles. Ils sont réunis par un ressort de traction-compression (R). On se propose d'étudier les petits mouvements du système autour de sa position d'équilibre.

Pendules et ressorts traction/compression

Dessin : Pendules et ressorts traction/compression

Dessin

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Les articulations (O1) et (O2) sont supposées parfaites :

On désigne par m la masse de chacun des pendules, par C le moment d'inertie de S1 par rapport à O1z et de S2 par rapport à O2z. On pose :

d'autre part, les points d'accrochage du ressort sont définis par :
à l'équilibre, on a α = β = 0.

Les équations du mouvement sont :

On remarque que, si l'on pose :

les variables p1 et p2 sont solutions de :
qui ne sont pas couplées. En posant :
on trouve :

De ces résultats on déduit les valeurs de α() et de β() que présente le tableau.

Formules

Tableau : Formules

Tableau

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Si, pour t = 0, on a :

il en résulte :

Les pendules partent et oscillent en phase ; ils restent parallèles et le ressort (R) ne joue aucun rôle. Si, à t = 0, on a :

on en déduit :

autre :

autre

 

Crédits :

Afficher

Dans ce cas, les pendules partent et oscillent en opposition et le point M situé au milieu du ressort est fixe.

autre :

autre

 

Crédits :

Afficher

Les variables p1 et p2 qui se sont introduites très naturellement dans cette étude sont appelées paramètres normaux du système. Chaque fois (comme c'est le cas dans cet exemple) que le système différentiel régissant les vibrations libres d'un ensemble à deux degrés de liberté se présente sous la forme :

on dit que les variables ε1 et ε2 sont couplées par élasticité pour exprimer que, dans la première équation, le terme pendulaire en ε1 (soit a11ε1″ + c11ε1) est accompagné d'un terme proportionnel à ε2 et que, dans la seconde équat [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 11 pages

Médias de l’article

Figure 1

Figure 1
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Figure 2

Figure 2
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Figure 3

Figure 3
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Figure 4

Figure 4
Crédits : Encyclopædia Universalis France

diaporama

Afficher les 11 médias de l'article


Écrit par :

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

Classification

Autres références

«  VIBRATIONS MÉCANIQUES  » est également traité dans :

AUDITION - Acoustique physiologique

  • Écrit par 
  • Pierre BONFILS, 
  • Yves GALIFRET, 
  • Didier LAVERGNE
  •  • 14 771 mots
  •  • 16 médias

Dans le chapitre « De l'onde propagée à la micromécanique cochléaire »  : […] Grâce à von Bekesy, l'étude de la mécanique cochléaire est passée de la spéculation à l'expérimentation qui permettait de comprendre comment la vibration sonore pouvait entraîner le mouvement passif de la membrane basilaire . Un déplacement rapide de la plaque de l'étrier se transmet, par les liquides, à la membrane de Reissner, à la membrane basilaire puis à la membrane de la fenêtre ronde, laque […] Lire la suite

AUTOMOBILE - Conception

  • Écrit par 
  • Jean-Paul MANCEAU, 
  • Alfred MOUSTACCHI, 
  • Jean-Pierre VÉROLLET
  •  • 10 532 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Le traitement de l'acoustique et des vibrations »  : […] L' amélioration du confort vibratoire et acoustique est considérable, que ce soit pour les occupants du véhicule, sous l'effet de la concurrence (ce type de confort étant associé à la notion de solidité ou de qualité haut de gamme), ou pour le voisinage (bruit extérieur). Ainsi, le niveau réglementaire européen concernant le bruit extérieur est passé de 82 dB en 1970 à 74 dB depuis 1995, soit une […] Lire la suite

ÉLECTRO-ACOUSTIQUE

  • Écrit par 
  • Éric de LAMARE
  •  • 7 353 mots
  •  • 10 médias

Dans le chapitre « Analogies électro-mécano-acoustiques »  : […] Le courant électrique, les vibrations mécaniques, les ondes sonores sont tous des phénomènes vibratoires . Il n'est donc pas étonnant que, en comparant les équations qui régissent certains circuits électriques à celles qui servent à décrire des régimes vibratoires, mécaniques d'abord puis, plus tard, acoustiques également, on ait constaté des analogies frappantes : il suffit de faire correspondre […] Lire la suite

INFRASONS

  • Écrit par 
  • Leonid PIMONOW
  •  • 3 243 mots
  •  • 3 médias

On entend par infrasons des vibrations mécaniques de basses fréquences dont la gamme est définie par les propriétés de l'ouïe humaine. Si les périodes des vibrations acoustiques se répètent plus fréquemment que quelque 16 à 20 fois par seconde, l'oreille commence à les intégrer. Apparaît alors la sensation bien connue de la tonalité. Par contre, les périodes plus rares sont perçues par l'ouïe co […] Lire la suite

MÉCANIQUE - Liaisons mécaniques

  • Écrit par 
  • Armand GIET
  •  • 9 088 mots
  •  • 12 médias

Dans le chapitre « Liaisons complètes élastiques »  : […] Dans le cas des liaisons complètes élastiques, on intercale entre les deux pièces à assembler un matelas élastique lié rigidement à chacune d'elles. Le degré d'efficacité de la liaison n'est pas modifié, mais l'obstacle élastique n'assure plus aux pièces une position relative indépendante de l'importance des sollicitations. Les déformations sont limitées mais ne sont pas négligeables ; elles sont […] Lire la suite

MONOCHROMATISME

  • Écrit par 
  • Viorel SERGIESCO
  •  • 319 mots

Caractère d'une vibration représentée par une fonction sin 2πν t , cos 2πν t ou exp 2 iπνt du temps t , où ν est la fréquence. En physique des vibrations, la vibration monochromatique joue le rôle d'une vibration élémentaire, puisque tout phénomène, périodique ou apériodique, peut être analysé en composantes monochromatiques ou synthétisé à partir d'elles (série de Fourier, intégrale de Fourier) […] Lire la suite

NAVIRES - Hydrodynamique navale

  • Écrit par 
  • Serge BINDEL
  •  • 8 144 mots
  •  • 9 médias

Dans le chapitre « Risques de vibrations »  : […] Le fonctionnement de l'hélice peut être à l'origine de vibrations de la coque selon deux mécanismes distincts, qui sont soit des vibrations par fluctuations de pression sur la coque (ou sur le gouvernail), soit des vibrations transmises par la ligne d'arbres. D'une part, le passage des pales de l'hélice à proximité de la coque engendre sur celle-ci une dépression à la fréquence n Z (n est le nombr […] Lire la suite

OSCILLATEURS

  • Écrit par 
  • Michel CAZIN
  •  • 3 004 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Deuxième exemple »  : […] Prenons ensuite le cas où Δ n  = 0 est une équation bicarrée en s . Considérons les deux équations linéaires : Un tel système régit les phénomènes électriques dont est le siège un ensemble de deux circuits accordés couplés par une mutuelle M et dans lequel, subsidiairement, un amplificateur reçoit à l'entrée la tension aux bornes de C 2 (soit q 2 /C 2 ) et fournit à la sortie la tension α q 2 /C 2 […] Lire la suite

PIÉZO-ÉLECTRICITÉ

  • Écrit par 
  • Pierre VOVELLE
  •  • 4 738 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Modes de vibration »  : […] Une lame de quartz piézo-électrique, de coupe et de dimensions particulières, possède un certain nombre de fréquences de résonance mécanique propres. Cette lame peut être excitée par une tension alternative appliquée à des électrodes déposées sur elle, de manière qu'une de ces résonances soit privilégiée. Les principaux modes de vibration utilisés sont la flexion, l'élongation, le cisaillement d […] Lire la suite

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

  • Écrit par 
  • Jean LEMAITRE
  •  • 6 596 mots
  •  • 17 médias

Dans le chapitre « Instabilité de flambement »  : […] Le flambement d'une construction est caractérisé par l'apparition brusque d'un changement de forme dans une direction différente de celle des forces de sollicitation. Si l'on étudie expérimentalement comment varie la flèche transversale Y d'une poutre comprimée par une force axiale P , on obtient, en fonction de la force, une courbe dont l'allure est indiquée sur la figure . La flèche, d'abord nul […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Michel CAZIN, « VIBRATIONS MÉCANIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 août 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/vibrations-mecaniques/