VIBRATIONS MÉCANIQUES

Vibrations d'un ensemble mécanique à deux degrés de liberté

Les équations des vibrations libres d'un tel ensemble :

ainsi que les techniques d'obtention de la solution d'un tel système différentiel ont été explicitées dans l'article oscillateurs.

Aussi bornerons-nous l'exposé actuel à quelques exemples permettant de mettre en jeu certaines notions nouvelles et une terminologie usuelle (quoique non significative).

Exemple de deux pendules

Deux pendules identiques (S₁) et (S₂) oscillent, dans un même plan vertical, autour de deux axes horizontaux parallèles. Ils sont réunis par un ressort de traction-compression (R). On se propose d'étudier les petits mouvements du système autour de sa position d'équilibre.

Les articulations (O₁) et (O₂) sont supposées parfaites :

On désigne par m la masse de chacun des pendules, par C le moment d'inertie de S₁ par rapport à O₁z et de S₂ par rapport à O₂z. On pose :

d'autre part, les points d'accrochage du ressort sont définis par :à l'équilibre, on a α = β = 0.

Les équations du mouvement sont :

On remarque que, si l'on pose :

les variables p₁ et p₂ sont solutions de :qui ne sont pas couplées. En posant :on trouve :

De ces résultats on déduit les valeurs de α(t ) et de β(t ) que présente le tableau.

Si, pour t = 0, on a :

il en résulte :

Les pendules partent et oscillent en phase ; ils restent parallèles et le ressort (R) ne joue aucun rôle. Si, à t = 0, on a :

on en déduit :

Dans ce cas, les pendules partent et oscillent en opposition et le point M situé au milieu du ressort est fixe.

Les variables p₁ et p₂ qui se sont introduites très naturellement dans cette étude sont appelées paramètres normaux du système. Chaque fois (comme c'est le cas dans cet exemple) que le système différentiel régissant les vibrations libres d'un ensemble à deux degrés de liberté se présente sous la forme :

on dit que les variables ε₁ et ε₂ sont couplées par élasticité pour exprimer que, dans la première équation, le terme pendulaire en ε₁ (soit a₁₁ε₁″ + c₁₁ε₁) est accompagné d'un terme proportionnel à ε₂ et que, dans la seconde équation, le terme pendulaire en ε₂ (soit a₂₂ε₂″ + c₂₂ε₂) est accompagné d'un terme proportionnel à ε₁.

On voit ainsi sur l'exemple la fragilité d'une telle terminologie puisqu'il est possible de déterminer des variables p₁ et p₂ dites normales et qui ne sont pas couplées.

Couplage gyroscopique

On dit que deux variables ε₁ et ε₂ sont couplées gyroscopiquement pour exprimer que, dans la première équation, le terme pendulaire en ε₁ est accompagné du terme (− bε′₂) et que, dans la seconde équation, le terme pendulaire en ε₂ est accompagné du terme (bε′₁) :

L'usage de cette terminologie provient du fait que de telles équations se rencontrent dans l'étude d'un ensemble mécanique comportant un rotor tournant à une très grande vitesse angulaire Ω. L'armature externe est mobile autour de l'axe vertical Oz ; elle est rappelée à la position ψ = ε₁ = 0 par un ressort (R₁). L'armature interne est mobile (par rapport à l'armature externe) autour de l'axe horizontal mobile Ou ; elle est rappelée à la position ε₂ = θ − π/2 = 0 par un ressort (R₂). Le rotor est mobile (par rapport à l'armature interne) autour de son axe de révolution Oz_s avec une vitesse angulaire supposée constante Ω. Le centre d'inertie commun à l'armature externe, à l'armature interne et au rotor est O. Les équations de vibration d'un tel système sont :

Quand le rotor ne tourne pas (Ω = 0), les paramètres de vibrations ε₁ et ε₂ sont découplés et admettent les pulsations :

Quand le rotor tourne (Ω ≠ 0), les paramètres ε₁ et ε₂ sont couplés gyroscopiquement. Si l'on cherche une solution du système différentiel sous la forme :

on voit que les amplitudes E₁ et E₂ (non nulles toutes deux) doivent être solutions du système linéaire :et que l'expression de E₁/E₂ (nécessairement commune à ces deux équations) fournit la condition sur ω² :

Afin d'effectuer une étude indépendante des unités, on écrit cette équation sous la forme :

en définissant comme suit les variables positives et sans dimensions x, y, μ :

On obtient ainsi la fonction :

dont le graphe se trace aisément et permet de connaître les pulsations propres correspondant à tout vitesse angulaire Ω du rotor : la courbe comporte deux branches partant de deux points de Ox correspondant à ω₁ et à ω₂ (absence de couplage) ; l'une est asymptote à l'axe Oy et correspond à une pulsation propre ω′ de plus en plus faible quand Ω augmente (période très grande du mouvement propre cor [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 11 pages

Afficher les 11 médias de l'article