VIBRATIONS MÉCANIQUES

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On dit qu'un ensemble mécanique est le siège de vibrations s'il est animé de petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre. Une vibration est définie à l'aide de une ou de plusieurs fréquences ; elle est également caractérisée par son amplitude.

La vibration la plus simple peut être traduite mathématiquement à l'aide de la fonction sinusoïdale A cos ω(t + τ) ou A cos(ωt + ϕ) ; la fréquence f est le nombre de fois que le phénomène se reproduit en une seconde :

T est appelée période de la vibration ; l'amplitude est la valeur maximale |A| prise par la fonction sinusoïdale et ω est la pulsation de cette fonction sinusoïdale.

De manière générale, les vibrations rencontrées dans la pratique ne sont pas représentables par une seule fonction sinusoïdale : souvent, ce sont des sommes de plusieurs fonctions de ce type ayant chacune une fréquence et une amplitude ; ces fonctions sinusoïdales sont les composantes de la vibration étudiée.

Si les pulsations des composantes sont des multiples entiers nΩ de la plus basse d'entre elles (soit Ω), la vibration qui leur correspond est dite périodique et de période T = 2 π/Ω, car elle reprend la même valeur aux deux dates t et t + T ; si les pulsations des composantes n'obéissent pas à cette loi simple, la vibration n'est pas périodique (cas, par exemple, où il existe deux composantes dont les pulsations sont Ω et Ω3).

Dans cet article, on ne traitera que des vibrations dont la valeur à toute date peut, par hypothèse, être déterminée si l'on connaît les valeurs prises par les paramètres de situation q de l'ensemble mécanique considéré et par leurs dérivées q′ à une date arbitraire (par exemple, la date du début de l'expérience). Mais il existe d'autres vibrations, dites aléatoires, pour lesquelles cette valeur à toute date ne peut être exprimée à l'aide de fonctions numériques habituelles (dont une fonction sinusoïdale n'est qu'un des exemples les plus simples) ; dans l'analyse de telles vibrations seules peuvent être déterminées des probabilités sur les valeurs prises par l'amplitude et la fréquence (détermination du profil d'une route par enregistrement des vibrations sur un camion-laboratoire ; problème analogue pour les caténaires des chemins de fer électrifiés). Le contenu mathématique mis en jeu dans ces conditions est tout à fait différent de celui auquel fait appel l'étude des vibrations entrant dans le schéma usuel (dit déterministe) qui sera le seul envisagé dans la suite de cet exposé.

Le problème des vibrations d'ensembles mécaniques complexes doit être rattaché à certains schémas simplificateurs : le plus simple d'entre eux est constitué d'une masse et d'un ressort ; la vibration de ce modèle peut être libre ou forcée.

Si la vibration est libre, aucun apport d'énergie n'est fourni à l'ensemble mécanique au cours de son évolution, et la vibration résulte de perturbations initiales telles que celles qui seront décrites dans les essais élémentaires. Si ce modèle élémentaire n'est l'objet d'aucun amortissement, la vibration est périodique, ce qui constitue un schéma idéal de la réalité (l'échelle moléculaire des phénomènes naturels en fournit toutefois quelques exemples). Dans la plupart des ensembles mécaniques concrètement rencontrés, l'amortissement a pour effet une décroissance de l'amplitude de la vibration qui tend, en un délai plus ou moins long, vers une valeur nulle ; de telles vibrations, qui disparaissent ainsi au bout d'un certain temps, sont dites vibrations transitoires.

Par opposition aux vibrations libres qui viennent d'être définies, les vibrations forcées se répètent de manière périodique par apport extérieur d'une énergie qui se substitue dans l'ensemble mécanique à l'énergie dissipée par amortissement. En général, la fréquence de la vibration forcée est liée de manière simple à la fréquence de distribution de l'énergie par le réservoir extérieur.

Dans de nombreuses vibrations, les chocs interviennent : l'ensemble mécanique peut être soumis à un seul choc à une date déterminée ; il en résulte alors une vibration libre parce que, du fait de ce choc, les dérivées q′ des variables de position q prennent des valeurs non nulles à la date de choc (cas, par exemple, d'un pendule sur lequel vient buter un autre pendule : pendule constitué d'un fil et d'une boule d'ivoire venant heurter un autre pendule analogue) ; l'ensemble mécanique peut être soumis à des chocs répétés et la fréquence de leur répétition réagit sur le mouvement vibratoire de l'ensemble considéré (cas d'un enfant sur une balançoire qui se trouve poussé, à plusieurs reprises, par une personne en appui sur le sol ; cas d'une mitrailleuse tirant sur un pendule balistique).

Le plus souvent, les chocs ou toute autre excitation entraînent des vibrations qui peuvent être considérées comme parasites et qu'il y a donc lieu d'éliminer ou de réduire de manière à les rendre supportables ou non dangereuses. Cette élimination ou cette réduction peut se faire soit à la source même des vibrations, soit dans un environnement plus ou moins proche de cette source, le choix de l'emplacement du système antivibratile étant une question d'opportunité technologique.

Schématisations en mécanique vibratoire

Le problème général des vibrations d'un ensemble mécanique (D) procède, d'une part, de la linéarisation des équations du mouvement de cet ensemble, d'autre part, du choix du schéma d'étude représentatif de cet ensemble et, enfin, des précisions concernant les interactions entre cet ensemble et son environnement immédiat constituant les appuis du système étudié qui sont supposés fixes ou animés de mouvements connus.

La technique de la linéarisation appartient au domaine des mathématiques ; quant au choix du schéma d'étude, il se fait à partir des réponses aux questions suivantes :

– Quels sont les sous-ensembles du système étudié que l'on peut considérer comme indéformables et, par suite, situer à l'aide d'un nombre fini de paramètres ?

– Quels sont les sous-ensembles pour lesquels cette hypothèse d'indéformabilité est certainement à rejeter, et pour lesquels il faudra prévoir un nombre infini de paramètres de situations ?

– Quels sont les sous-ensembles du système étudié dont les masses peuvent être considérées comme négligeables (transmetteur d'efforts) devant la masse totale de l'ensemble ?

– Quels sont les dispositifs à prévoir pour immobiliser certains des sous-ensembles les uns par rapport aux autres et, plus généralement, pour faire intervenir dans l'ensemble étudié des liaisons édictées à l'avance de manière à rendre possibles les déterminations des caractéristiques mécaniques de chacune des parties de l'ensemble étudié ?

Dans un problème de vibrations, l'ensemble matériel constitue un récepteur qui admet un état d'équilibre ou, plus généralement, un état de mouvement stationnaire. Lorsque ce récepteur est en équilibre, il n'est soumis, de la part de son environnement (ou générateur d'efforts), qu'à des torseurs qui restent constants au cours du temps. On prend comme hypothèse de travail que le récepteur est sans effet sur l'état dynamique du générateur ; si cette hypothèse se révélait inadéquate, il faudrait considérer le récepteur et le générateur comme un nouvel ensemble mécanique dont les appuis se trouveraient ainsi reculés dans le monde extérieur.

Tous les problèmes qui se posent à propos des ensembles mécaniques vibrants se ramènent au suivant, qui est fondamental : étant donné un ensemble mécanique susceptible d'entrer en vibration, quelle est sa réponse à une excitation quelconque dont on fait l'hypothèse qu'elle est connue en fonction du temps ?

Cette excitation, qui introduit des fonctions connues du temps dans les seconds membres des équations du système, peut revêtir des formes très variées : ébranlement accidentel (cas des ensembles dont l'état normal est l'équilibre : par exemple, rafale sur une aile d'avion), excitation périodique (cas général des ensembles subissant l'influence d'organes tournants tels que moteurs, hélices, turbines), excitation quelconque (cas d'un grand nombre d'appareils en fonctionnement normal : instruments de mesure, asservissements, etc.). Comme la nature physique des ensembles mécaniques est elle-même très variée, on voit la très grande diversité des problèmes pratiques qui se présentent à l'ingénieur comme autant de cas particuliers du problème fondamental.

La solution du problème fondamental, pour un système linéaire vibrant au voisinage de sa position d'équilibre, se rattache très simplement à quelques tests qui seront explicités ci-dessous. En effet, le système d'équations différentielles dont dépend cette solution étant linéaire :

– toute solution est la somme de la vibration libre correspondant aux conditions initiales données et de la vibration forcée et due à l'excitation donnée ;

– si l'on sait décomposer les conditions initiales en conditions particulières pour lesquelles la vibration libre du système est connue, il suffit d'additionner les fonctions qui correspondent à chacune de ces vibrations pour obtenir la vibration libre relative aux conditions initiales données ;

– si l'on sait décomposer l'excitation en excitations particulières pour lesquelles la réponse du système, à partir de l'équilibre, est connue, il suffit d'additionner ces réponses pour avoir la solution, à partir de l'équilibre, correspondant à l'excitation donnée.

Vibrations d'un système à un degré de liberté

Vibrations libres

L'équation différentielle régissant les petits mouvements à un paramètre se présente sous la forme :

Pour qu'il y ait équilibre, le temps t ne doit pas apparaître explicitement au second membre de cette équation. L'équation devient dans ce cas :

à l'équilibre q = q0, q0 étant solution de F(q0, 0) = 0, on a q′ = 0 et q″ = 0.

Posons q = q0 + ε, q′ = ε′, q″ = ε″.

Le développement de la fonction F(qq′), limité au premier ordre, s'écrit au voisinage de (q0, 0) :

lorsqu'on tient compte de la condition F(q0, 0) = 0, on obtient l'équation :
qui peut encore s'écrire :
en posant :
c'est l'équation de l'oscillateur associé au problème étudié.

Cette équation peut être mise sous forme intrinsèque (indépendante des unités utilisées au cours des calculs numériques) ; à cet effet, on pose :

en choisissant ω0 positif, et il vient :
cette équation régit des petits mouvements (c'est-à-dire des mouvements représentables par une fonction qui tend vers zéro quand t tend vers l'infini) dans les cas d'un mouvement pseudo-périodique (0 < λ < 1), d'un mouvement apériodique critique (λ = 1) et d'un mouvement à grand amortissement (λ > 1).

Modèle à un paramètre avec amortissement négligeable

Soit un solide (S) en liaison rotoïde d'axe horizontal Oz. Ce solide est soumis aux efforts de liaison exercés par le rotoïde que l'on suppose parfait, aux efforts de pesanteur dont on désigne par g la densité vectorielle par unité de masse et, enfin, à une force F créée par un ressort dont une extrémité est fixée en un point A au bâti galiléen et dont l'autre extrémité est fixée en un point H de (S) tel que OH = hxs. D'autre part, on suppose que le centre d'inertie G de (S) est situé sur la droite OH, c'est-à-dire que OG = axs ; la longueur naturelle de ce ressort est l, et k est la constante de dureté longitudinale ; l'extrémité A du ressort est accrochée en un point de coordonnées polaires (ρ, β) :

avec :
un tel appareillage peut être utilisé comme sismographe.

Figure 1

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Nous supposerons qu'à l'équilibre l'angle α = (x, xs) est nul. L'équation du moment dynamique en O en projection scalaire sur l'axe z s'écrit :

avec :
ce qui conduit à l'équation du mouvement :

On va appliquer ce résultat à l'étude de deux cas : celui où y est vertical ascendant (g = − gy), puis le cas où x est vertical descendant (g ≡ gx).

Dans le premier cas, on a :

À l'équilibre, OG est horizontal par hypothèse, c'est-à-dire que l'équation du mouvement :

doit être satisfaite pour α ≡ 0 :
où l'on désigne par (HA)e = le la longueur prise par le ressort lorsque le système est en équilibre :

Figure 2

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On remarque (ce qui est évident intuitivement) qu'à l'équilibre, d'une part, ll si sin β > 0 (ressort travaillant à la traction) et, d'autre part, ll si sin β < 0 (ressort travaillant à la compression).

L'équation de l'oscillateur linéaire associé au problème étudié permet de déterminer les petits mouvements autour de la valeur α = 0 à partir de :

Supposons pour fixer les idées que :

cette équation linéaire de l'oscillateur associé se réduit à :
en tenant compte de ce que :
on obtient l'équation :
ce qui confère aux petits mouvements (s'ils existent) une pulsation propre ω1 et une période T1 telles que :

Dans le second cas, on a :

Le ressort doit être assez dur, avec mga/h2, pour qu'un équilibre où OG reste horizontal soit stable et que l'équation de l'oscillateur linéaire associé soit donc une équation de vibration.

À l'équilibre, OG est vertical descendant par hypothèse, c'est-à-dire que l'équation du mouvement doit être satisfaite pour α ≡ 0 ; on obtient la condition :

Figure 3

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L'équation de l'oscillateur linéaire associé au problème étudié permet de déterminer les petits mouvements autour de la valeur α = 0 à partir de :

Dans le cas particulier où A est sur l'axe Oy, c'est-à-dire pour β = π/2, et où ρ = h, on obtient :

ce qui confère aux petits mouvements une pulsation propre ω2 et une période T2 telles que :

On remarque, en comparant les résultats obtenus dans les deux cas particuliers étudiés, que :

ce qui peut être constaté expérimentalement.

Modèle à un paramètre avec amortissement

Le solide (S) de l'exemple précédent, lorsqu'il fonctionne comme sismographe, est construit pour avoir une période T0 de vibrations libres non amorties dont la valeur numérique est de l'ordre de une à deux secondes. Supposons, pour fixer les idées, que cette période soit effectivement de deux secondes ; on en déduit, en l'absence d'amortissement, ω0 = π.

Si l'on met en jeu un dispositif d'amortissement linéaire défini par le coefficient λ, on constate expérimentalement que les maximums des amplitudes angulaires α sont en progression géométrique de raison égale à 0,8. Dans ces conditions, le décrément logarithmique :

a pour valeur 0,223, et, comme on a :
on en déduit que le coefficient λ a pour expression générale :
et, dans le cas du sismographe actuel, λ est égal à 0,035, tandis que la pseudo-période :
a une valeur que les moyens expérimentaux mis en jeu ne permettent pas de distinguer de deux secondes.

Détermination expérimentale des caractéristiques dynamiques

Dans la plupart des cas pratiques, les coefficients caractéristiques de l'inertie du système étudié et des efforts auxquels il est soumis ne sont pas exactement connus ; il en résulte qu'une détermination détaillée du torseur dynamique et du torseur des efforts extérieurs ne conduirait qu'à une précision illusoire, puisque sont mal connus les moments et produits d'inertie des pièces, les élasticités des massifs déformables ainsi que les déperditions d'énergie qui leur sont dues.

On doit alors, à partir de l'expérience, déterminer les coefficients des équations du mouvement après avoir fait, à leur propos, l'hypothèse que ce sont les équations d'oscillateurs linéaires. Une telle détermination se fait en appliquant à l'ensemble mécanique, initialement en équilibre, des forces excitatrices connues en fonction du temps et en enregistrant les réponses correspondantes. Un certain nombre d'excitations privilégiées conduisent à des résultats expérimentaux simples, précis, et dont l'exploitation fournit un moyen de calcul des coefficients inconnus.

Ces tests correspondent aux quatre expériences suivantes dans le cas d'un modèle à un paramètre, supposé à l'équilibre et soumis à des efforts extérieurs qui confèrent à la date t = 0, au paramètre ε et à ses dérivées ε′ et ε″, des valeurs ε0, ε′0, ε0″ qui sont précisées dans chaque cas.

Dans le premier cas, on a ε0 non nulle (cependant que ε′0 = 0) ; on dit alors que le modèle est soumis à un essai statique suivi d'un lâcher. Par exemple, une masse m suspendue à un ressort de dureté k est supposée en équilibre dans la position définie par ε = 0 ; on lui accroche un poids Φ par l'intermédiaire d'un fil de masse négligeable ; sous l'action de ce poids, la masse m se met à osciller autour d'une nouvelle position d'équilibre ; on l'immobilise à la main dans la position définie par ε0 = Φ/k, et ε0 est mesurable ; la masse m reste en équilibre dans cette position ; si, à la date t = 0, on brûle le fil, la masse m tend vers la position d'équilibre définie par ε = 0.

Dans le deuxième cas, on a ε′0 non nulle (avec ε0 = 0). On dit alors que le modèle est soumis à un essai de percussion. Par exemple, un solide pesant mobile autour d'un axe horizontal qui ne passe pas par son centre d'inertie est en équilibre quand son centre d'inertie est situé dans le plan vertical contenant l'axe de rotation. S'il est effectivement dans une telle position (définie par ε = 0) et qu'on lui applique une percussion (pas trop importante afin qu'il n'acquière pas un mouvement révolutif), il prend un mouvement défini par la valeur ε′0 et au cours duquel, pour t assez grand, le pendule tend vers la position d'équilibre définie par ε = 0.

Dans le troisième cas, on a ε0″ non nulle (avec ε0 = 0 et ε′0 = 0) ; on dit alors que le mobile est soumis à un essai par échelon. Par exemple, une masse m suspendue à un ressort de dureté k est supposée en équilibre dans la position définie par ε = 0 ; à la date t = 0, on fait agir sur elle une force électromagnétique constante Φ ; on peut supposer dans une telle expérience que, sous l'action de cette force, la masse m tend vers une nouvelle position d'équilibre définie par ε1 = Φ/k.

Dans le quatrième cas, un modèle à un paramètre étant en équilibre dans une position définie par ε = 0, on l'écarte de cette position d'équilibre en faisant intervenir à partir de la date t = 0 une excitation sinusoïdale. Après une période transitoire, si le modèle est adéquat et d'amortissement non négligeable, un régime permanent s'établit, au cours duquel le modèle vibre périodiquement à la même fréquence que l'excitateur. On mesure l'amplitude et la phase de la réponse ε().

Dans le cas concret où l'amortissement n'est pas négligeable, après un délai plus ou moins long (réponse transitoire), une vibration sinusoïdale permanente s'établit, qui est solution particulière de l'équation :

On la détermine en associant à cette équation l'expression :

et en recherchant pour le coefficient ̱ε une forme du type :
où le nombre complexe K (ε est la partie réelle de fonction complexe ̱ε) a pour expression :
les fonctions Z(s) et A(s) = 1/Z(s) sont dites respectivement impédance et admittance mécaniques du modèle rapportées à la variable ε :
on note que :
posant alors :
on voit immédiatement que :
donc δ est l'avance de phase de l'excitation sur la réponse :

Au cours d'un balayage de fréquence, ω variant de 0 à + ∞, sin δ reste positif ; on choisira donc δ compris entre 0 et π : les courbes représentant les variations de ρ/c et de δ en fonction de ω/ω0 sont indépendantes du système d'unités utilisé sur la figure a et 4 b. Ces courbes dépendent de la valeur de l'amortissement λ ; pour 0 < λ < 1/2, le graphe de ρ/c présente un minimum pour ω/ω0 = 1 − 2λ2, et ce minimum a pour valeur 2λ1 − λ2.

Figure 4

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Comme on a :

on obtient sans difficulté le graphe des variations du module 1/ρ de l'admittance ; pour obtenir un résultat intrinsèque, on trace le graphe de c/ρ.

On note que, quelle que soit la valeur de λ, l'avance δ de l'excitation sur la réponse est égale à π/2 pour ω/ω0 = 1 ; cette valeur de ω/ω0 correspond par définition à la résonance ; on remarque d'autre part que cette valeur diffère de la valeur 1 − 2 λ2 qui correspond au maximum de l'amplitude de ε, quand il existe, c'est-à-dire pour λ < 1/2.

L'utilisation de ces courbes intrinsèques et l'enregistrement des réponses ε() permettent de déterminer les coefficients a, b, c, du modèle.

Vibrations forcées d'un modèle à un paramètre

Toute vibration dont un ensemble mécanique est le siège a pour origine l'environnement de cet ensemble ; en particulier, on a vu que, lors des essais ci-dessus, on crée des vibrations par intervention d'excitateurs connus. Pour un modèle linéaire régi par l'équation différentielle :

où Φ() représente l'excitation connue, la réponse ε() de l'ensemble mécanique est la somme de deux fonctions : la première, dite vibration libre, est la solution générale C er1t + D er2t de l'équation aε″ + bε′ + cε = 0 ; la seconde, dite vibration forcée, est une solution particulière de l'équation aε″ + bε′ + cε = Φ(), que l'on obtient pour chaque cas par des techniques mathématiques appropriées.

Si la fonction Φ() est périodique et de période T = 2π/ω, on la développe en série de Fourier :

avec :

À la fonction d'excitation Ceinωt correspond la réponse :

donc à l'excitation périodique Φ() correspond la réponse :
c'est-à-dire en désignant par Cn* le complexe conjugué de Cn et par Z* le complexe conjugué de Z(inω) :
cela permet de connaître la réponse persistante (ou asymptotique) exprimée à l'aide des harmoniques qui la composent.

Si la fonction Φ() n'est pas périodique, on l'exprime sous forme d'une intégrale de Fourier :

avec :
dans ces conditions, la réponse persistante est :

Vibrations d'un ensemble mécanique à deux degrés de liberté

Les équations des vibrations libres d'un tel ensemble :

ainsi que les techniques d'obtention de la solution d'un tel système différentiel ont été explicitées dans l'article oscillateurs.

Aussi bornerons-nous l'exposé actuel à quelques exemples permettant de mettre en jeu certaines notions nouvelles et une terminologie usuelle (quoique non significative).

Exemple de deux pendules

Deux pendules identiques (S1) et (S2) oscillent, dans un même plan vertical, autour de deux axes horizontaux parallèles. Ils sont réunis par un ressort de traction-compression (R). On se propose d'étudier les petits mouvements du système autour de sa position d'équilibre.

Pendules et ressorts traction/compression

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Les articulations (O1) et (O2) sont supposées parfaites :

On désigne par m la masse de chacun des pendules, par C le moment d'inertie de S1 par rapport à O1z et de S2 par rapport à O2z. On pose :

d'autre part, les points d'accrochage du ressort sont définis par :
à l'équilibre, on a α = β = 0.

Les équations du mouvement sont :

On remarque que, si l'on pose :

les variables p1 et p2 sont solutions de :
qui ne sont pas couplées. En posant :
on trouve :

De ces résultats on déduit les valeurs de α() et de β() que présente le tableau.

Formules

Formules

tableau

 

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Si, pour t = 0, on a :

il en résulte :

Les pendules partent et oscillent en phase ; ils restent parallèles et le ressort (R) ne joue aucun rôle. Si, à t = 0, on a :

on en déduit :

Dans ce cas, les pendules partent et oscillent en opposition et le point M situé au milieu du ressort est fixe.

Les variables p1 et p2 qui se sont introduites très naturellement dans cette étude sont appelées paramètres normaux du système. Chaque fois (comme c'est le cas dans cet exemple) que le système différentiel régissant les vibrations libres d'un ensemble à deux degrés de liberté se présente sous la forme :

on dit que les variables ε1 et ε2 sont couplées par élasticité pour exprimer que, dans la première équation, le terme pendulaire en ε1 (soit a11ε1″ + c11ε1) est accompagné d'un terme proportionnel à ε2 et que, dans la seconde équation, le terme pendulaire en ε2 (soit a22ε2″ + c22ε2) est accompagné d'un terme proportionnel à ε1.

On voit ainsi sur l'exemple la fragilité d'une telle terminologie puisqu'il est possible de déterminer des variables p1 et p2 dites normales et qui ne sont pas couplées.

Couplage gyroscopique

On dit que deux variables ε1 et ε2 sont couplées gyroscopiquement pour exprimer que, dans la première équation, le terme pendulaire en ε1 est accompagné du terme (− bε′2) et que, dans la seconde équation, le terme pendulaire en ε2 est accompagné du terme (bε′1) :

L'usage de cette terminologie provient du fait que de telles équations se rencontrent dans l'étude d'un ensemble mécanique comportant un rotor tournant à une très grande vitesse angulaire Ω. L'armature externe est mobile autour de l'axe vertical Oz ; elle est rappelée à la position ψ = ε1 = 0 par un ressort (R1). L'armature interne est mobile (par rapport à l'armature externe) autour de l'axe horizontal mobile Ou ; elle est rappelée à la position ε2 = θ − π/2 = 0 par un ressort (R2). Le rotor est mobile (par rapport à l'armature interne) autour de son axe de révolution Ozs avec une vitesse angulaire supposée constante Ω. Le centre d'inertie commun à l'armature externe, à l'armature interne et au rotor est O. Les équations de vibration d'un tel système sont :

Rotor et axe de révolution

Rotor et axe de révolution

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Quand le rotor ne tourne pas (Ω = 0), les paramètres de vibrations ε1 et ε2 sont découplés et admettent les pulsations :

Quand le rotor tourne (Ω ≠ 0), les paramètres ε1 et ε2 sont couplés gyroscopiquement. Si l'on cherche une solution du système différentiel sous la forme :

on voit que les amplitudes E1 et E2 (non nulles toutes deux) doivent être solutions du système linéaire :
et que l'expression de E1/E2 (nécessairement commune à ces deux équations) fournit la condition sur ω2 :

Afin d'effectuer une étude indépendante des unités, on écrit cette équation sous la forme :

en définissant comme suit les variables positives et sans dimensions x, y, μ :

On obtient ainsi la fonction :

dont le graphe se trace aisément et permet de connaître les pulsations propres correspondant à tout vitesse angulaire Ω du rotor : la courbe comporte deux branches partant de deux points de Ox correspondant à ω1 et à ω2 (absence de couplage) ; l'une est asymptote à l'axe Oy et correspond à une pulsation propre ω′ de plus en plus faible quand Ω augmente (période très grande du mouvement propre correspondant) ; l'autre est asymptote à la première bissectrice, ce qui donne pour des valeurs très grandes de Ω une très grande pulsation propre :

Pulsations et vitesse angulaire

Pulsations et vitesse angulaire

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et une faible période du mouvement propre correspondant, qui est indépendante de ω1 et de ω2. Dans les deux exemples cités, on voit que le couplage écarte les pulsations propres, ce qui correspond à une règle générale.

Vibrations forcées d'un ensemble mécanique à deux degrés de liberté

Les équations des vibrations forcées d'un ensemble mécanique à deux degrés de liberté sont régies par le système différentiel général :

où les fonctions Φ1() et Φ2() représentent les excitations connues.

La réponse (ε1(), ε2()) de l'ensemble mécanique est donnée par :

où (l1(), l2()) est la réponse obtenue pour Φ1() et Φ2() nuls (cf. étude des vibrations libres) et où ϕ1() et ϕ2() sont des solutions particulières du système différentiel ci-dessus, Φ1() et Φ2() étant non nuls tous les deux.

En mécanique, après un temps relativement long, les fonctions l1() et l2() ont des valeurs qui tendent vers zéro ; c'est pourquoi (ϕ1(), ϕ2()) est dite réponse persistante ou asymptotique. On recherche cette réponse en considérant qu'elle est elle-même la somme des deux réponses obtenues en étudiant d'abord Φ1() ≠ 0 et Φ2() ≡ 0, puis Φ1() ≡ 0 et Φ2() ≠ 0. Ces deux cas se traitent de manière symétrique ; aussi, on n'envisagera que le premier. Soit alors la fonction de base :

à laquelle on associe Φ eit+α). Lorsqu'on cherche la réponse persistante par ̱ε1 = K1 eit+α), ̱ε2 = K2 e(iωt+α), on voit que K1 et K2 satisfont aux équations :
où l'on a posé :
ce qui permet d'obtenir :
on en déduit ̱ε1 et ̱ε2, puis leurs parties réelles ϕ1 et ϕ2 qui caractérisent la réponse persistante.

Ce procédé s'étend à une fonction Φ1() périodique par décomposition en série de Fourier et à une fonction Φ1() non périodique par mise en jeu d'une intégrale de Fourier.

Par exemple, dans la stabilisation du roulis d'un navire par un gyroscope, les variations des deux paramètres ε1 (roulis) et ε2 (tangage) sont régies par les équations :

où Γ sin (ωt + α) est la mesure du moment d'un couple longitudinal dû aux vagues. On peut rechercher les vibrations persistantes sous la forme :
ce qui conduit au système algébrique linéaire permettant de déterminer E1 et E2 :
donc la solution persistante est respectivement pour le roulis et le tangage :

Pour les très grandes valeurs de Ω, le roulis a sensiblement pour expression :

et l'on comprend le rôle joué par le gyroscope dans le dispositif antiroulis.

Équations du mouvement d'un ensemble mécanique à n paramètres

On va limiter l'étude d'un ensemble mécanique à n paramètres aux cas où les n paramètres q1, ..., qn situant l'ensemble (D) sont indépendants et solutions du système différentiel de Lagrange à n équations (cf. mécanique analytique, chap. 1) :

L'énergie cinétique galiléenne T de l'ensemble mécanique (D) est une fonction quadratique homogène des dérivées (q1, ..., qn) des variables (q1, ..., qn) par rapport au temps t :

dont les coefficients Akl sont des fonctions de (q1, ..., qn), ce qu'on exprime symboliquement par Akl (q).

Les fonctions Qi sont des fonctions connues pour chaque cas et dépendent très généralement de (q1, ..., qn), de (q1, ..., qn) et de t, et on les écrit :

soit symboliquement Qi(qq′|). Dans ces conditions, la i-ième équation de Lagrange s'explicite ainsi :
c'est-à-dire, en utilisant la convention d'Einstein,
avec :

Deux circonstances sont particulièrement considérées dans les applications.

1. Le système différentiel admet la solution :

c'est-à-dire que l'ensemble mécanique étudié peut garder une configuration invariable au cours du temps : on dit alors que l'ensemble est en équilibre dans un galiléen. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire que les n équations suivantes soient satisfaites quel que soit t ; on écrit la i-ième de ces équations :
ce qui exige que t ne figure explicitement dans aucune des expressions des fonctions Qi. S'il en est ainsi, le système :
constitue le système des équations d'équilibre de (D) et permet de déterminer un ou plusieurs ensembles de valeurs (e1, ..., en) dont chacun caractérise une configuration d'équilibre possible. La question est de savoir si cet équilibre est stable. S'il en est ainsi, l'étude des fonctions de t :
est dite étude des petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre stable, ou vibrations, de l'ensemble mécanique (D).

Ce problème est généralement difficile à justifier par une théorie mathématique rigoureuse. C'est pourquoi on lui substitue, par définition, l'étude du système linéaire (d'oscillateurs associés) défini par :

où symboliquement :
est le développement limité au premier ordre de la fonction Qi par rapport à l'ensemble de ses variables εk, ε′k. On pose :

On remarque que l'on a aik = aki et que, par conséquent, la matrice carrée (a) d'élément général aik est symétrique ; mais, comme :

la matrice (b) d'élément général bik et la matrice (c) d'élément général cik ne sont pas symétriques en général.

La i-ième équation du système d'oscillateurs associés s'écrit donc, en vertu de ces notations :

et l'on peut exprimer le système, pour les vibrations libres, sous forme matricielle :
où (ε), (ε)′ et (ε)″ sont des matrices colonnes.

Il arrive que, sans être indépendants de t, les Qi se présentent sous la forme :

le système différentiel régissant les vibrations des oscillateurs associés s'écrit, pour les vibrations forcées, dans ce cas :
où la matrice (Φ) est une matrice colonne fonction du temps.

2. Le système différentiel admet la solution :

les Ω étant des constantes ; c'est-à-dire que, parmi les paramètres de configuration de l'ensemble mécanique, certains restent constants (par exemple les k premiers, pour fixer les idées), tous les autres sont des fonctions du premier degré du temps : i = + 1, ..., n et qi = Ωit + αi (fonctions à dérivées constantes). On dit alors que l'ensemble mécanique est dans un état stationnaire. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire que les n équations suivantes soient satisfaites quel que soit t ; on écrit la i-ième de ces identités :

On obtient ainsi n identités par rapport à t qui conduisent à un nombre d'équations dépendant des cas d'espèce ; les inconnues sont :

c'est-à-dire que leur nombre est (2 n − k). Dans le cas général, si l'on a pu trouver une telle solution, on est amené à poser :
de manière à étudier si cette solution est stable, c'est-à-dire si l'état stationnaire ainsi déterminé est stable. Un tel problème est généralement très difficile ; aussi va-t-on examiner un cas particulier très important défini par les hypothèses suivantes :

1. pour = 1, ..., k, Qi ne dépend que de q1, ..., qk ;

2. pour i = k + 1, ..., n, Q≡ 0 ;

3. l'énergie cinétique T est indépendante de qk+1, ..., qn, et l'on a :

avec Ars(q1, ..., qk).

Dans ces conditions, on obtient (n − k) intégrales premières du mouvement :

ou explicitement :
et les k autres équations de Lagrange ont la même forme que dans le cas général.

Les valeurs de (e1, ..., ek) sont solutions du système Qi = 0(i = 1, ..., k) et le système des n équations du mouvement admet la solution :

À l'aide des (n − k) intégrales premières, on peut éliminer qk+1, ..., qn en les reportant dans les k équations de Lagrange et, sur ce système de k équations, effectuer la linéarisation ou le développement limité au premier ordre par rapport à l'ensemble des fonctions :

ce qui conduit à un système de k équations linéaires à coefficients constants représentable par :
et l'on est donc ramené au problème précédent (vibrations libres).

Vibrations des systèmes continus

Dans un certain nombre de problèmes de vibrations posés à l'ingénieur, il arrive que le schéma ne puisse pas être étudié à l'aide d'un nombre fini de degrés de liberté : cordes, plaques et membranes, barres, etc. On dit alors que l'ensemble mécanique est susceptible d'un schéma continu. L'étude de telles vibrations fait intervenir des équations aux dérivées partielles qui sont généralement intégrées par le procédé de séparation entre les variables de situation et la variable t.

Les résultats essentiels sont indiqués sans démonstration à propos des exemples fondamentaux.

Vibrations d'une corde

Les vibrations d'une corde sont représentées sur la figure. L'équation de propagation s'écrit :

λ étant la masse spécifique linéique de la corde.

Vibrations d'une corde

Vibrations d'une corde

graphique

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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On cherche une solution de la forme :

et l'on obtient :

Vibrations d'une membrane

Soit une membrane parfaitement flexible tendue sur un contour plan (C) situé dans (xOy), comme peut l'être une broderie dans un cadre en cours d'ouvrage. À l'équilibre, la membrane est située dans le plan (xOy), à l'intérieur de (C), et elle est tendue par une force que l'on supposera uniforme sur (C) et normale à (C) : P désigne l'intensité de la force exercée par l'unité de longueur de (C) sur la membrane.

Lorsque la membrane vibre, la parcelle de cette membrane qui, à l'équilibre, a pour coordonnées (x, y, 0) est située à la date t au point M′ de coordonnées x, y, z(x, y, ). L'équation aux dérivées partielles de telles vibrations est :

où μ est la masse spécifique surfacique de la membrane.

On cherche une solution de la forme :

et l'on trouve :

Vibrations longitudinales d'une barre prismatique

Le déplacement u(x, t ) de la section droite d'une barre prismatique qui a pour abscisse x à l'équilibre est régi par l'équation aux dérivées partielles :

Barre prismatique : déplacement

Barre prismatique : déplacement

dessin

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Le matériau dont la barre est constituée a pour module de Young E et pour masse spécifique volumique ρ. Cette équation aux dérivés partielles s'intègre de la même manière que celle d'une corde vibrante.

Vibrations de torsion d'une pièce cylindrique

L'angle α dont tourne une section d'abscisse x au cours des vibrations de torsion d'une pièce cylindrique est une fonction α(x, t) dont les variations sont régies par l'équation aux dérivées partielles :

dans laquelle G = E/2(1 + ν) est le module de Coulomb et ν le coefficient de Poisson du matériau dont est constituée la barre. Cette équation s'intègre de la même manière que celle d'une corde vibrante.

Vibrations de flexion d'une barre prismatique

Les vibrations de flexion d'une barre prismatique sont représentées sur la figure.

Barre prismatique : vibrations de flexion

Barre prismatique : vibrations de flexion

dessin

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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L'équation aux dérivées partielles des vibrations correspondantes est :

On cherche une solution de la forme : y(x) = Y(x)(), et l'on trouve :

Les applications de ces résultats sont innombrables mais font intervenir avec précision les conditions aux limites imposées par l'environnement immédiat du milieu continu. Dans beaucoup de questions, on se contente de représenter un système continu par une équation pendulaire, ce qui permet déjà d'en déterminer la pulsation propre fondamentale (méthode de Rayleigh). Ce résultat n'est qu'approché, mais permet d'obtenir rapidement une solution simple et justifie les développements effectués à propos du schéma à un paramètre.

—  Michel CAZIN

Bibliographie

T. Burton, Introduction to Dynamic Systems Analysis, McGraw-Hill, New York, 1994

M. Gérardin & D. Rixen, Théorie des vibrations : application à la dynamique des structures, Masson, Paris, 1993

C. M. Harris dir., Shock and Vibration Handbook, McGraw-Hill, 3e éd. 1988

S. G. Kelly, Fundamentals of Mechanical Vibrations, ibid., 1993

A. Preumont, Vibrations aléatoires et analyse spectrale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1990

M. Roseau, Vibrations des systèmes mécaniques : méthodes analytiques et applications, Masson, 1984

P. Thureau & D. Lecler, Vibrations : régimes linéaires, Dunod, Paris, 1981.

Écrit par :

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Voir aussi

Pour citer l’article

Michel CAZIN, « VIBRATIONS MÉCANIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 octobre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/vibrations-mecaniques/