VIBRATIONS MÉCANIQUES
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- Modifié le
- Écrit par Michel CAZIN
Vibrations d'un système à un degré de liberté
Vibrations libres
L'équation différentielle régissant les petits mouvements à un paramètre se présente sous la forme :
Pour qu'il y ait équilibre, le temps t ne doit pas apparaître explicitement au second membre de cette équation. L'équation devient dans ce cas :
Posons q = q0 + ε, q′ = ε′, q″ = ε″.
Le développement de la fonction F(q, q′), limité au premier ordre, s'écrit au voisinage de (q0, 0) :
Cette équation peut être mise sous forme intrinsèque (indépendante des unités utilisées au cours des calculs numériques) ; à cet effet, on pose :
Modèle à un paramètre avec amortissement négligeable
Figure 1
Encyclopædia Universalis France
Soit un solide (S) en liaison rotoïde d'axe horizontal Oz. Ce solide est soumis aux efforts de liaison exercés par le rotoïde que l'on suppose parfait, aux efforts de pesanteur dont on désigne par g la densité vectorielle par unité de masse et, enfin, à une force F créée par un ressort dont une extrémité est fixée en un point A au bâti galiléen et dont l'autre extrémité est fixée en un point H de (S) tel que OH = hxs. D'autre part, on suppose que le centre d'inertie G de (S) est situé sur la droite OH, c'est-à-dire que OG = axs ; la longueur naturelle de ce ressort est l, et k est la constante de dureté longitudinale ; l'extrémité A du ressort est accrochée en un point de coordonnées polaires (ρ, β) :
Nous supposerons qu'à l'équilibre l'angle α = (x, xs) est nul. L'équation du moment dynamique en O en projection scalaire sur l'axe z s'écrit :
On va appliquer ce résultat à l'étude de deux cas : celui où y est vertical ascendant (g = − gy), puis le cas où x est vertical descendant (g ≡ gx).
Dans le premier cas, on a :
Figure 2
Encyclopædia Universalis France
À l'équilibre, OG est horizontal par hypothèse, c'est-à-dire que l'équation du mouvement :
On remarque (ce qui est évident intuitivement) qu'à l'équilibre, d'une part, le > l si sin β > 0 (ressort travaillant à la traction) et, d'autre part, le < l si sin β < 0 (ressort travaillant à la compression).
L'équation de l'oscillateur linéaire associé au problème étudié permet de déterminer les petits mouvements autour de la valeur α = 0 à partir de :
Supposons pour fixer les idées que :
Dans le second cas, on a :
Le ressort doit être assez dur, avec k > mga/h2, pour qu'un équilibre où OG reste horizontal soit stable et que l'équation de l'oscillateur linéaire associé soit donc une équation de vibration.[...]
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Pour citer cet article
Michel CAZIN. VIBRATIONS MÉCANIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
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Figure 2
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