VIBRATIONS MÉCANIQUES

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Vibrations d'un système à un degré de liberté

Vibrations libres

L'équation différentielle régissant les petits mouvements à un paramètre se présente sous la forme :

Pour qu'il y ait équilibre, le temps t ne doit pas apparaître explicitement au second membre de cette équation. L'équation devient dans ce cas :

à l'équilibre q = q0, q0 étant solution de F(q0, 0) = 0, on a q′ = 0 et q″ = 0.

Posons q = q0 + ε, q′ = ε′, q″ = ε″.

Le développement de la fonction F(qq′), limité au premier ordre, s'écrit au voisinage de (q0, 0) :

lorsqu'on tient compte de la condition F(q0, 0) = 0, on obtient l'équation :
qui peut encore s'écrire :
en posant :
c'est l'équation de l'oscillateur associé au problème étudié.

Cette équation peut être mise sous forme intrinsèque (indépendante des unités utilisées au cours des calculs numériques) ; à cet effet, on pose :

en choisissant ω0 positif, et il vient :
cette équation régit des petits mouvements (c'est-à-dire des mouvements représentables par une fonction qui tend vers zéro quand t tend vers l'infini) dans les cas d'un mouvement pseudo-périodique (0 < λ < 1), d'un mouvement apériodique critique (λ = 1) et d'un mouvement à grand amortissement (λ > 1).

Modèle à un paramètre avec amortissement négligeable

Soit un solide (S) en liaison rotoïde d'axe horizontal Oz. Ce solide est soumis aux efforts de liaison exercés par le rotoïde que l'on suppose parfait, aux efforts de pesanteur dont on désigne par g la densité vectorielle par unité de masse et, enfin, à une force F créée par un ressort dont une extrémité est fixée en un point A au bâti galiléen et dont l'autre extrémité est fixée en un point H de (S) tel que OH = hxs. D'autre part, on suppose que le centre d'inertie G de (S) est situé sur la droite OH, c'est-à-dire que OG = axs ; la longueur naturelle de ce ressort est l, et k est la constante de dureté longitudinale ; l'extrémité A du ressort est accrochée en un point de coordonnées polaires (ρ, β) :

avec :
un tel appareillage peut être utilisé comme sismographe.

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Nous supposerons qu'à l'équilibre l'angle α = (x, xs) es [...]

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Écrit par :

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, « VIBRATIONS MÉCANIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 janvier 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/vibrations-mecaniques/