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Transformations spécifiques

Il est nécessaire pour la suite de rappeler la notion d'enveloppe d'une famille de droites.

L'enveloppe d'une famille de droites à un paramètre (Δt) est la courbe (Γ) formée des points caractéristiques des droites Δt, points limites quand t' tend vers t du point d'intersection de (Δt) avec (Δt') (éventuellement à l'infini); la courbe (Γ) est en général tangente en chacun de ses points à une courbe (Γt) et toute droite Δt est tangente en au moins un point à (Γ), sauf dans le cas où, sur un intervalle, les droites Δt passent par un point fixe, auquel cas ce point appartient à l'enveloppe.

Transformation par développée et développante

La développée [notion introduite par Christiaan Huygens (1629-1695) en 1673] d'une courbe est l'enveloppe de ses normales. Le point caractéristique sur chaque normale est le point d'intersection avec une normale infiniment voisine, point qui est par définition le centre de courbure: la développée est donc aussi le lieu des centres de courbure (fig. 15 et tabl. 2

Développée d'une courbe

Développée d'une courbe

Dessin

Tracé d'une développée. Les points singuliers de la développée correspondent aux sommets de la courbe, c'est-à-dire aux extremums du rayon de courbure, notion généralisant celle de point situé sur un axe de symétrie avec tangente perpendiculaire à cet axe. Sur cette figure, on constate... 

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Développées de courbes

Développées de courbes

Tableau

Exemples de développées de courbes. 

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L'abscisse curviligne de la développée est le rayon de courbure de la courbe de départ; ceci se traduit cinématiquement par le fait que la normale roule sans glisser sur la développée.

Si donc on appelle développantes d'une courbe les courbes dont elle est la développée, les développantes sont aussi les lieux des points d'une droite roulant sans glisser sur la courbe. Cela peut se matérialiser par un fil enroulé sur la courbe que l'on déroule en le laissant tendu.

Gaspard Monge (1746-1818) a étendu ces notions à l'espace en 1785. Il a dénommé «surface polaire» l'enveloppe des plans normaux à une courbe gauche. Deux plans normaux infiniment voisins se coupant suivant l'axe de symétrie du cercle de courbure, la surface polaire est aussi la réunion des axes des cercles de courbures de la courbe, soit la réunion des droites passant par le centre de courbure et orthogonales au plan osculateur. C'est une surface développable qui est un cylindre si et seulement si la courbe de départ est plane (la surface polaire est al [...]


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Spirale de Fermat

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Hélice circulaire

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Spirale logarithmique

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Robert FERRÉOL, « COURBES TRANSFORMATIONS DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 mars 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/transformations-de-courbes/