DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

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Le calcul des séquents

L'ontologie hilbertienne se fondait sur les énoncés Π01 . À bien des égards, la classe duale (Σ01 ) a un bien meilleur comportement ; par exemple, tout énoncé Σ01 vrai est prouvable par des méthodes élémentaires. À partir de cela, l'analogue du programme de Hilbert pour les énoncés Σ01 devient démontrable pour les théories courantes ; mais la démonstration n'est pas élémentaire ! Σ01 est la complexité logique de la démonstrabilité dans les systèmes de logique usuelle (finitaire). Les travaux de Gentzen, vers 1935, ont permis de démontrer un principe de pureté des méthodes pour le calcul des prédicats, c'est-à-dire la logique pure, sans axiomes. En quelque sorte, ce que Hilbert voulait faire avec les mathématiques élémentaires, Gentzen le réalisa dans le cadre du calcul des prédicats.

Système LK

Dans ce qui suit, L est un langage du premier ordre arbitraire. Un séquent est une expression formelle Γ ⊢Δ, où Γ et Δ sont des suites finies d'énoncés de L. L'interprétation intuitive de A1, ..., A⊢ B1, ..., Bm, c'est que la conjonction des Ai implique la disjonction des Bj. En particulier, ⊢ A veut dire A, et A ⊢ veut dire ¬ A ; quant au séquent vide ⊢, il signifie l'absurdité. Dans les systèmes séquentiels, la cohérence sera toujours interprétée par la non-prouvabilité de ⊢. Dans la formulation qui suit du calcul des séquents LK, on utilise la virgule pour dénoter la mise bout à bout (concaténation) de suites, par exemple Γ, Λ ; on utilise Γ, A au lieu de Γ, {A}.

Les règles représentées dans le tableau ci-après sont divisées en quatre groupes ; mais elles sont d'importance inégale. En particulier, les règles structurelles sont de peu d'intérêt ; il convient cependant de ne pas mépriser l'importance des règles de contraction. Dans les groupes II et III, les règles sont divisées en droites et gauches : pour toutes ces règles (sauf l'échange), on a une « formule principale » : il s'agit de la formule écrite explicitement en conclusion ; sa localisation par rapport à ⊢ détermine le caractère gauche ou [...]

Théorie de la démonstration

Théorie de la démonstration

Tableau

Théorie de la démonstration. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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GENTZEN GERHARD (1909-1945)

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Logicien allemand, né à Greifswald et mort à Prague lors de son emprisonnement par les Soviétiques. Gentzen a développé l'étude des systèmes de déduction naturelle et établi un théorème d'élimination des coupures. Gerhard Gentzen a également donné une démonstration de consistance de l'arithmétique du premier ordre fondée sur l'induction transfinie jusqu'au premier nombre ordinal inaccessible pour […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gerhard-gentzen/#i_37468

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Pour citer l’article

Jean-Yves GIRARD, « DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-de-la-demonstration/