INCOMPLÉTUDE THÉORÈMES D'

Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématique axiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En...

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel (1931) est un coup d'arrêt brutal et définitif au programme : l'énoncé de Gödel est élémentaire, vrai (on le sait par des méthodes non élémentaires), mais non prouvable dans la théorie elle-même : il suffit d'appliquer ce résultat à la formalisation des mathématiques...

...„épistémiquement stable“ : tout énoncé finitiste vrai (respectivement faux) devrait pouvoir être prouvé (respectivement réfuté) par des méthodes finitistes. Les résultats d'incomplétude obtenus par Kurt Gödel (1906-1978) en 1931 ont précisément montré que ce n'était pas le cas. En particulier, l'arithmétique...

Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique...

...scientifique, figurent les théorèmes dits de « limitation » des systèmes formels. Le plus célèbre est le théorème de Gödel (1931) énonçant l' incomplétude de l'arithmétique formalisée, c'est-à-dire la possibilité de construire une interprétation du système formel dans laquelle figure une proposition...

Les théorèmes d'incomplétude constituent la deuxième grande découverte de Gödel. Conformément à son « programme », Hilbert cherchait à démontrer (de manière finitiste) la consistance d'un système formel de l'analyse. Un rapide examen convainquit Gödel de l'impossibilité d'une telle...

...suffisamment élémentaires pour échapper au doute, en particulier plus pauvres que ceux qui sont admis en général en mathématiques. En 1931, les théorèmes d' incomplétude de Gödel mettent fin à cet espoir ainsi formulé. Ils ne vouent pas pour autant les travaux de Hilbert, ni son programme, à l'oubli. L'ambition...

Le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel, qui montre que l'on ne peut démontrer formellement la non-contradiction d'un système supposé non contradictoire avec les seuls moyens définis dans le système, a établi l'impossibilité de s'en tenir au seul critère idéaliste de la vérité. Et la ...

Une seconde illustration des notions introduites ci-dessus est une forme du second théorème d'incomplétude de Gödel (cf. Indécidabilité et décidabilité pour d'autres formes). Ce résultat affirme qu'il existe une équation diophantienne n'admettant pas de racines dans N et dont...