POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

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Structures de Poisson et quantification

Soit un système mécanique décrit par un champ hamiltonien sur une variété de Poisson P (c'est souvent un fibré cotangent). Lorsque l'on tente de quantifier ce système, on tente d'associer à chaque fonction f (« observable classique ») définie sur P un opérateur O(f) (« observable quantique ») d'un espace de Hilbert (cf. mécanique quantique - Le formalisme de la mécanique quantique). En fait, des considérations physiques font que l'on cherche plutôt une famille Oh(f) de tels opérateurs, dépendant d'un paramètre réel h, et que l'on impose des relations (32) Oh(f) ∘ Oh(g) – Oh(g) ∘ Oh(f) = Oh({fg}) + o(h), où o(h) désigne une expression petite par rapport à h. On ne sait réaliser ce programme qu'en imposant beaucoup de conditions supplémentaires et en restreignant l'espace des observables. Cela dit, quand cette quantification existe et que les applications f ↦ Oh(f) sont bijectives, l'espace des observables classiques hérite d'une famille à un paramètre h de lois internes associatives ∗h définies par (33) f ∗h g ≔ Oh–1(Oh(f) ∘ Oh(g)). L'idée qui s'est donc imposée aux physiciens mathématiciens (en guise de préliminaire à la quantification) est la construction de telles familles de lois associatives sur l'espace C(P) des fonctions de classe C définies sur P. De façon plus précise, on s'intéresse d'abord à des familles « formelles » de lois

 ; ce qui mène à la définition suivante.

On appelle quantification par déformation de la structure de Poisson { , } sur P une famille (∗k)k ∈ ℕ de lois de composition sur C(P) telle que : 1. f ∗0 g = fg 2. f ∗1 g = {fg} 3.

, pour toutes fonctions f, g et h et tout entier m. La condition 1 impose que ∗0 est le produit usuel, la condition 2 reflète la relation (32) et la condition 3 est la version formelle de l'associativité. On impose aussi que les opérateurs (fg) ↦ f ∗h g soient « locaux », c'est-à-dire que la valeur de f ∗h g en un point ne dépende que des restrictions de f et g à un voisinage, aussi petit que l'on veut, de ce point.

D'un point de vue plus algébrique, une quantificatio [...]


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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Écrit par :

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

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Pour citer l’article

Jean Paul DUFOUR, « POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/