Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Structures de Poisson et quantification

Soit un système mécanique décrit par un champ hamiltonien sur une variété de Poisson P (c'est souvent un fibré cotangent). Lorsque l'on tente de quantifier ce système, on tente d'associer à chaque fonction f (« observable classique ») définie sur P un opérateur O(f) (« observable quantique ») d'un espace de Hilbert (cf. mécanique quantique - Le formalisme de la mécanique quantique). En fait, des considérations physiques font que l'on cherche plutôt une famille Oh(f) de tels opérateurs, dépendant d'un paramètre réel h, et que l'on impose des relations (32) Oh(f) ∘ Oh(g) – Oh(g) ∘ Oh(f) = Oh({f, g}) + o(h), où o(h) désigne une expression petite par rapport à h. On ne sait réaliser ce programme qu'en imposant beaucoup de conditions supplémentaires et en restreignant l'espace des observables. Cela dit, quand cette quantification existe et que les applications f ↦ Oh(f) sont bijectives, l'espace des observables classiques hérite d'une famille à un paramètre h de lois internes associatives ∗h définies par (33) f ∗hg ≔ Oh–1(Oh(f) ∘ Oh(g)). L'idée qui s'est donc imposée aux physiciens mathématiciens (en guise de préliminaire à la quantification) est la construction de telles familles de lois associatives sur l'espace C(P) des fonctions de classe C définies sur P. De façon plus précise, on s'intéresse d'abord à des familles « formelles » de lois

 ; ce qui mène à la définition suivante.

On appelle quantification par déformation de la structure de Poisson { , } sur P une famille (∗k)k ∈ ℕ de lois de composition sur C(P) telle que : 1. f ∗0g = fg 2. f ∗1g = {f, g} 3.

, pour toutes fonctions f, g et h et tout entier m. La condition 1 impose que ∗0 est le produit usuel, la condition 2 reflète la relation (32) et la condition 3 est la version formelle de l'associativité. On impose aussi que les opérateurs (f, g) ↦ f ∗hg soient « locaux », c'est-à-dire que la valeur de f ∗hg en un point ne dépende que des restrictions de f et g à un voisinage, aussi petit que l'on veut, de ce point.

D'un point de vue plus algébrique, une quantification par déformation est une déformation associative (formelle) du produit usuel ayant comme « terme directeur » le crochet de Poisson. Dans les années 1980 apparurent plusieurs résultats d'existence de telles déformations dans des cas particuliers, comme les structures symplectiques ou linéaires. En 1997, Maxim Kontsevitch a prouvé l'existence de telles déformations pour toute structure de Poisson. Ses résultats établissent aussi une correspondance (bijective « à équivalence près ») entre les structures de Poisson et les déformations associatives du produit usuel. A posteriori cela justifie l'importance de la notion de structure de Poisson.

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

Classification

Pour citer cet article

Jean Paul DUFOUR. POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Voir aussi