POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Géométrie de Poisson

André Lichnerowicz a proposé en 1977 de généraliser encore les notions précédentes comme suit.

Définition. Une structure de Poisson sur une variété différentiable M est une application ℝ-bilinéaire et antisymétrique (11) C(MC(M) → C(M), (fg) ↦ {fg} sur l'espace C(M) des fonctions de classe C de M dans ℝ, qui vérifie l'identité de Jacobi (12) {{fg}, h} + {{gh}, f} + {{hf}, g} = 0 et l'identité de Leibniz (13) {fgh} = {fg}h + g{fh} pour tous f, g et h dans C(M).

Autrement dit, (C(M), { , }) est une algèbre de Lie [cf. groupes (mathématiques) - Groupes de Lie] dont le crochet de Lie satisfait l'identité de Leibniz. Ce crochet { , } est appelé un crochet de Poisson. Une variété équipée d'un tel crochet est appelée une variété de Poisson.

Exemple 1. C'est Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) qui a découvert que le crochet de Poisson original (1) vérifie l'identité « de Jacobi », et on voit sans peine qu'il vérifie l'identité de Leibniz. Puisque toute forme symplectique a une expression locale du même type que celle de TQ, on en déduit que les crochets (9), définis sur les variétés symplectiques, sont bien des crochets de Poisson au sens de la définition générale qui précède.

Exemple 2. Il existe des variétés qui ne peuvent porter des formes symplectiques (par exemple celles de dimension impaire). En revanche, n'importe quelle variété possède des structures de Poisson, en particulier la structure de Poisson triviale, définie par {fg} = 0 pour toutes fonctions f et g.

Exemple 3. Soit M = ℝ2 avec les coordonnées (xy) et soit p une fonction de ℝ2 dans ℝ de classe C(M). On peut définir une structure de Poisson sur ℝ2 en posant (14)

. C'est un exercice instructif de vérifier l'affirmation précédente et de voir que toute structure de Poisson sur ℝ2 est de ce type.

Exemple 4. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur ℝ. Une structure de Poisson sur V sera dite linéaire si le crochet de deux fonctions linéaires est encore une fonction linéaire. Alors l'identité de Jacobi nous dit que l'on a sur V, ensemble des fonctions liné [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 14 pages



Médias de l’article

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin





Écrit par :

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

Classification

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean Paul DUFOUR, « POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/