POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

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Les structures de Nambu d'après Tahktajan

Définition. Soient q un entier supérieur ou égal à 2 et M une variété différentiable. Une structure de Nambu d'ordre q sur M est une application ℝ-multilinéaire et alternée (51) C(M)q → C(M), (f1, ..., fq) ↦ {f1, ..., fq} sur l'espace C(M) des fonctions de classe C de M dans ℝ, qui vérifie l'identité de Leibniz (52) {f1, ..., fq–1g1g2} = {f1, ..., fq–1g1}g2 + g1{f1, ..., fq–1g2} et l'identité fondamentale (53)

pour tous fi, gi appartenant à C(M).

La fonction {f1, ..., fq} est appelée crochet de Nambu des fonctions f1, ..., fq, et une variété munie d'une telle structure de Nambu est dite variété de Nambu.

Dans le cas q = 2, l'identité fondamentale n'est rien d'autre que celle de Jacobi et on retrouve la définition des structures de Poisson. Beaucoup de propriétés fondamentales des structures de Poisson passent aux structures de Nambu avec q > 2, en particulier l'identité de Leibniz nous permet d'affirmer l'existence d'un q-vecteur Λ avec (54) {f1, ..., fq} = Λ( df1, ..., dfq) pour tout q-uplet de fonctions (f1, ..., fq).

Comme annoncé dans le chapitre précédent, l'identité fondamentale a le corollaire étonnant suivant.

Théorème. Soit m un point quelconque d'une variété de Nambu d'ordre q > 2 où le tenseur associé Λ n'est pas nul. Il existe un système (x1, ..., xn) de coordonnées locales sur un voisinage de m tel que l'on ait (55)

.

Ce théorème montre, en particulier, que les structures de Nambu d'ordre strictement plus grand que 2 ont une structure locale bien plus simple que les structures de Poisson : ou bien le tenseur Λ associé s'annule ou bien il a la forme locale très régulière (54). Cela dit, la description précise du comportement au voisinage des points où le tenseur est nul est difficile. Malgré tout, comme pour les structures de Poisson au voisinage des points où le tenseur associé est nul, on a quelques résultats concernant le problème de « linéarisation » (où l'on cherche des coordonnées locales dans lesquelles les composantes de Λ sont des fonctions linéaires).

Il y a aussi un analogue du feuilletage sympl [...]


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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Écrit par :

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

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Pour citer l’article

Jean Paul DUFOUR, « POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/