POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Étude locale

Une application différentiable entre deux variétés de Poisson qui échange les crochets comme dans (31) est appelée un morphisme de Poisson. Si, de plus, c'est un difféomorphisme, on dit que c'est un isomorphisme de Poisson.

Le théorème de décomposition locale des variétés de Poisson montre aussi que toute la géométrie locale d'une structure de Poisson se cache dans sa « restriction » { , }_N à une variété N transverse à la feuille symplectique. Alan Weinstein a montré que, si N' est une autre variété transverse à la même feuille, alors la structure de Poisson { , }_N' est isomorphe à { , }_N.

On peut donc définir la notion de structure de Poisson transverse à une feuille S donnée : c'est la classe d'équivalence de { , }_N à isomorphisme local près.

La propriété caractéristique de ces structures transverses est qu'elles s'annulent au point au voisinage duquel elles sont définies. La géométrie locale des structures de Poisson se ramène donc à celle des structures de Poisson définies sur un voisinage de l'origine dans ℝⁿ et qui s'annulent à l'origine.

On a développé des techniques pour l'étude de ces structures à isomorphisme local (préservant l'origine) près. Par exemple, la première question que l'on se pose est le problème de linéarisation : étant donné une structure de Poisson Π sur un voisinage ouvert U de 0 dans ℝⁿ avec Π(0) = 0, existe-t-il un nouveau système de coordonnées (x₁, ..., x_n) sur un voisinage ouvert de 0, éventuellement plus petit que U, tel que les crochets {x_i, x_j} soient des fonctions linéaires des variables (x₁, ..., x_n) ? Si la réponse est oui, on est ramené à une structure de Poisson linéaire (donc à une algèbre de Lie de dimension finie) et on dit que la structure est linéarisable. Pour attaquer ce problème, on remarque d'abord que l'on peut définir la linéarisée de Π en 0 : dans un système de coordonnées, nulles en 0, c'est la structure de Poisson linéaire définie en prenant, comme nouveau crochet de deux fonctions coordonnées, la partie linéaire du crochet de ces deux fonctions. Cette structure linéarisée est associée à une structure d'algèbre de Lie. Les résultats principaux (et difficiles à prouver) disent, par exemple, que si cette algèbre est semi-simple, alors la linéarisation est toujours possible, au moins dans le contexte analytique complexe.

Dans le cas différentiable (non analytique), il existe des exemples de structures de Poisson sur ℝ³, nulles à l'origine, dont la linéarisée correspond à l'algèbre de Lie sl(2) [cf. ex. 4 du chap. 2, Géométrie de Poisson]mais qui ne sont pas linéarisables : un tel exemple est illustré par la figure 2.