POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

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Mécanique de Nambu

Dans un article de 1973, le physicien théoricien Yoichiro Nambu propose l'étude des systèmes d'équations différentielles (35)

, pour i = 1, ¼, n, où l’on travaille sur l’espace ℝ3n muni des coordonnées (p1q1r1, ..., pnqnrn), H et F étant des fonctions de ces variables ; le symbole
désigne le déterminant
. On peut voir ces équations de Nambu comme l'analogue des équations de Hamilton (3) lorsque l'on remplace les couples de variables conjuguées (piqi) par des triplets de variables (piqiri).

La mécanique du solide dont le centre de gravité est fixé (le solide « d'Euler ») peut être vue comme relevant des équations de Nambu : si l'on note (pqr) les composantes du moment angulaire dans le repère attaché au solide, le mouvement est déterminé par les équations (36)

, avec H = ½(p2/I1 + q2/I2 + r2/I3) et F = ½(p2 + q2 + r2).

Après Nambu, plusieurs mathématiciens ont essayé de donner un caractère intrinsèque aux équations (35). Les équations (3) acquérant le leur dans le formalisme symplectique, on a, en particulier, essayé d'introduire une 3-forme ω de façon que le champ de vecteur X donné par les équations (35) soit donné par une équation du type

[par analogie avec (8)]. Cette voie ne fonctionne qu'en dimension 3. Cela dit, si l'on cherche quels sont les changements de variables (37)
qui transforment le système (35) en un système analogue (avec H' = H ∘ φ–1 à la place de H et F' = F ∘ φ–1 à la place de F), on obtient le jeu d'équations (38)
, où φk parcourt les composantes de φ (dans le premier membre elle est considérée comme fonction, dans le second comme variable). Lorsque l'on prend H = φl et F = φm, cela donne un système d'équations (39)
, où le symbole
désigne le jacobien de la fonction de composantes f, g et h par rapport aux variables x, y et z (on fixe les éventuelles autres variables). Or (38) se récrit exactement sous la forme (40) φΛ0 = Λ0 en notant Λ0 le 3-vecteur
.

Dit autrement, les changements qui préservent les équations de Nambu sont ceux qui préservent Λ0. Ainsi, si les équations de Nambu ont un caractère intrinsè [...]


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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Écrit par :

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

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Pour citer l’article

Jean Paul DUFOUR, « POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/