- 1. Vers la géométrie symplectique
- 2. Géométrie de Poisson
- 3. Le 2-vecteur associé à une structure de Poisson
- 4. Le théorème de décomposition locale d'Alan Weinstein
- 5. Le feuilletage symplectique
- 6. Algébroïdes de Lie
- 7. Le problème de réalisation symplectique
- 8. Étude locale
- 9. Structures de Poisson et quantification
- 10. Structures de Poisson spéciales
- 11. Mécanique de Nambu
- 12. Les structures de Nambu d'après Tahktajan
- 13. Appendice
- 14. Bibliographie
POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE
Mécanique de Nambu
Dans un article de 1973, le physicien théoricien Yoichiro Nambu propose l'étude des systèmes d'équations différentielles (35)
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La mécanique du solide dont le centre de gravité est fixé (le solide « d'Euler ») peut être vue comme relevant des équations de Nambu : si l'on note (p, q, r) les composantes du moment angulaire dans le repère attaché au solide, le mouvement est déterminé par les équations (36)
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Après Nambu, plusieurs mathématiciens ont essayé de donner un caractère intrinsèque aux équations (35). Les équations (3) acquérant le leur dans le formalisme symplectique, on a, en particulier, essayé d'introduire une 3-forme ω de façon que le champ de vecteur X donné par les équations (35) soit donné par une équation du type
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Dit autrement, les changements qui préservent les équations de Nambu sont ceux qui préservent Λ0. Ainsi, si les équations de Nambu ont un caractère intrinsèque, il en est de même de ce 3-vecteur. Notons maintenant XH,F le champ de vecteurs sur ℝ3n donné par les équations (35). On peut récrire ces équations sous la forme (41) XH,F = idF(idHλ0) ou, ce qui revient au même, (42) XH,F(G) = λ0(dH, dF, dG), pour toute fonction G.
Donc, s'il existe une formulation intrinsèque des équations de Nambu, elle ne peut être que du type suivant. On se donne une variété V munie d'un 3-vecteur Λ, vérifiant des conditions pour qu'il existe, au voisinage de tout point, des coordonnées (p1, q1, r1, ..., pn, qn, rn) dans lesquelles on ait (43)
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Une des propriétés essentielles des champs hamiltoniens sur une variété de Poisson est qu'ils préservent la structure de Poisson : cela se traduit concrètement par l'identité de Jacobi que l'on peut récrire sous la forme (48)[[...]
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Écrit par
- Jean Paul DUFOUR : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)
Classification
Pour citer cet article
Jean Paul DUFOUR. POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
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