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POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Mécanique de Nambu

Dans un article de 1973, le physicien théoricien Yoichiro Nambu propose l'étude des systèmes d'équations différentielles (35)

, pour i = 1, ¼, n, où l’on travaille sur l’espace ℝ3n muni des coordonnées (p1, q1, r1, ..., pn, qn, rn), H et F étant des fonctions de ces variables ; le symbole
désigne le déterminant
. On peut voir ces équations de Nambu comme l'analogue des équations de Hamilton (3) lorsque l'on remplace les couples de variables conjuguées (pi, qi) par des triplets de variables (pi, qi, ri).

La mécanique du solide dont le centre de gravité est fixé (le solide « d'Euler ») peut être vue comme relevant des équations de Nambu : si l'on note (p, q, r) les composantes du moment angulaire dans le repère attaché au solide, le mouvement est déterminé par les équations (36)

, avec H = ½(p2/I1 + q2/I2 + r2/I3) et F = ½(p2 + q2 + r2).

Après Nambu, plusieurs mathématiciens ont essayé de donner un caractère intrinsèque aux équations (35). Les équations (3) acquérant le leur dans le formalisme symplectique, on a, en particulier, essayé d'introduire une 3-forme ω de façon que le champ de vecteur X donné par les équations (35) soit donné par une équation du type

[par analogie avec (8)]. Cette voie ne fonctionne qu'en dimension 3. Cela dit, si l'on cherche quels sont les changements de variables (37)
qui transforment le système (35) en un système analogue (avec H' = H ∘ φ–1 à la place de H et F' = F ∘ φ–1 à la place de F), on obtient le jeu d'équations (38)
, où φk parcourt les composantes de φ (dans le premier membre elle est considérée comme fonction, dans le second comme variable). Lorsque l'on prend H = φl et F = φm, cela donne un système d'équations (39)
, où le symbole
désigne le jacobien de la fonction de composantes f, g et h par rapport aux variables x, y et z (on fixe les éventuelles autres variables). Or (38) se récrit exactement sous la forme (40) φΛ0 = Λ0 en notant Λ0 le 3-vecteur
.

Dit autrement, les changements qui préservent les équations de Nambu sont ceux qui préservent Λ0. Ainsi, si les équations de Nambu ont un caractère intrinsèque, il en est de même de ce 3-vecteur. Notons maintenant XH,F le champ de vecteurs sur ℝ3n donné par les équations (35). On peut récrire ces équations sous la forme (41) XH,F = idF(idHλ0) ou, ce qui revient au même, (42) XH,F(G) = λ0(dH, dF,  dG), pour toute fonction G.

Donc, s'il existe une formulation intrinsèque des équations de Nambu, elle ne peut être que du type suivant. On se donne une variété V munie d'un 3-vecteur Λ, vérifiant des conditions pour qu'il existe, au voisinage de tout point, des coordonnées (p1, q1, r1, ..., pn, qn, rn) dans lesquelles on ait (43)

. Soit alors deux fonctions H et F définies sur V ; le champ de Nambu associé à ces deux fonctions sera le champ XH,F défini par (44) XH,F = idF(idHλ). On peut alors définir le « crochet » de trois fonctions F, G et H par la formule (45) {F, G, H} = λ(dF, dG, dH), et l'on a (46) XH,F(G) = {H, F, G}. Par définition, le crochet {F, G, H} est trilinéaire et antisymétrique en les fonctions F, G et H. Il vérifie aussi la propriété (47) {F, G, HK} = {F, G, K}H + {F, G, H}K, pour toutes fonctions F, G, H et K ; on l'appelle « relation de Leibniz ». Notons l'analogie avec le formalisme de Poisson, lorsque l'on remplace le crochet de trois fonctions par un crochet de deux fonctions.

Une des propriétés essentielles des champs hamiltoniens sur une variété de Poisson est qu'ils préservent la structure de Poisson : cela se traduit concrètement par l'identité de Jacobi que l'on peut récrire sous la forme (48)[[...]

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Écrit par

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

Classification

Pour citer cet article

Jean Paul DUFOUR. POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Voir aussi