POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

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Appendice

Pour les notions de base concernant les variétés différentiables, nous renvoyons à l'article variétés différentiables. Si x est un point de la variété différentiable M, on note TxM l'espace des vecteurs tangents à M au point x.

Un fibré vectoriel de rang p sur la variété M est la donnée d'une variété différentiable E et d'une application différentiable π : E → M tels que l'on ait un atlas (Ui, φi)i ∈ J de M et un atlas correspondant (π–1(Ui), Φi)i ∈ J tels que Φi–1(Ui)) = φi(Ui)×ℝp, les expressions locales de π soient les projections évidentes (xy) ∈ φi(Ui)×ℝp ↦ x ∈ φi(Ui), et que les changements de cartes sur E correspondants aux changements ψij = φi ∘ φi-1 soient de la forme (xy) ↦ (ψij(x), γij(x)(y)), de façon que, pour tout x, les fonctions y ↦ γij(x)(y) soient linéaires.

Alors chaque « fibre » Ex ≔ π–1(x) hérite d'une structure d'espace vectoriel de dimension p et E est leur réunion disjointe :

. Ainsi un fibré vectoriel de rang p doit être vu comme une réunion disjointe d'espaces vectoriels de dimension p paramétrés par M, le tout muni d'une bonne structure de variété.

Le fibré tangent

est l'exemple basique de fibré vectoriel (de rang égal à la dimension de M) sur M.

Si π : E → M et π' : F → M sont deux fibrés vectoriels sur M, toute application différentiable φ : E → F qui préserve les fibres et est linéaire en restriction à chaque fibre [φ(Ex) ⊂ Fx et φ|Ex : Ex → Fx est linéaire] est appelée un morphisme de fibrés.

Si E est un fibré vectoriel sur M, alors il est facile de voir que

et
peuvent être munis, de façon naturelle, de structures de fibrés vectoriels sur M, pour tout entier q. Ainsi TM ≔ TM est le « fibré cotangent » à M, c'est le fibré des 1-formes sur M. De son côté ⁁qTM est le fibré des « q-vecteurs » sur M et ⁁qTM est celui des q-formes.

Une « section » du fibré vectoriel E (sur M) est une application différentiable s : M → E telle que π ∘ s = IdM. Une telle section associe à tout point x de M un point s(x) de la fibre Ex de façon différentiable. Ainsi un champ de vecteurs s [...]


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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Écrit par :

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

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Pour citer l’article

Jean Paul DUFOUR, « POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/