POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

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Le feuilletage symplectique

Soit U un ouvert d'une variété de Poisson M muni de coordonnées canoniques (p1, ..., psq1, ..., qsz1, ..., zm–2s) ; quitte à le restreindre, on peut supposer que (p1, ..., psq1, ..., qs) varie dans un disque ouvert D de ℝ2s. Alors la sous-variété symplectique S, donnée par les équations z1 = ... = zm–2s = 0, est réunion des trajectoires du point de coordonnées nulles pour tous les champs hamiltoniens. En effet, un tel champ est de la forme (28)

, où Z est un champ (ne faisant intervenir que les variables zi) qui est nul à l’origine. En prenant pour f les fonctions pi puis qi, on voit que les trajectoires de l’origine sont du type t ↦ (0, ¼, 0, t, 0, ¼, 0), où t peut occuper les 2s premières places.

Soit x un point de la variété de Poisson M. On note Sx l’ensemble des points y de M pour lesquels il existe une courbe continue de γ : [0, 1] → M, d'origine x [i.e. γ(0) = x], d'extrémité y [i.e. γ(1) = y] et formée en mettant bout à bout un nombre fini de portions de trajectoires de champs hamiltoniens (il existe une suite finie 0 = t0 < t1 ... < tr–1 < tr = 1 telle que la restriction de γ à chacun des intervalles [titi+1] soit une trajectoire d'un champ hamiltonien). La remarque précédente permet de montrer, d'une part, que Sx est une sous-variété de M de dimension égale au rang de x, d'autre part, qu'elle est munie naturellement d'une structure de variété symplectique (elle a comme espace tangent en chaque point y l'espace caractéristique Cy). La sous-variété Sx est appelée feuille symplectique ou, plus succinctement, feuille de x.

Toute variété de Poisson se décompose donc en une réunion disjointe de variétés symplectiques : ses feuilles symplectiques. Réciproquement, la connaissance de cette partition (avec la donnée des structures symplectiques sur chaque partie) détermine complètement la structure de Poisson initiale.

Il faut faire attention au fait que les feuilles ne sont pas forcément toutes de même dimension. Un exemple important est le cas des variétés de Poisson linéaires : notre variété est alors le dual G d'une algèbre de [...]


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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Écrit par :

  • : professeur à l'université Montpellier-II (département de mathématique)

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Jean Paul DUFOUR, « POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/