POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Le théorème de décomposition locale d'Alan Weinstein

Étant donné une structure de Poisson Π sur la variété M, on lui associe l'homomorphisme (21) ♯ : T^∗M → TM, qui envoie tout covecteur α de T^∗_xM sur le vecteur ♯(α) de T_xM défini par (22) Π(α, β) = ♯(α)(β), pour tout covecteur β dans T^∗_xM. On emploie la même notation ♯ pour désigner l'opérateur qui associe à toute 1-forme α le champ de vecteur ♯(α) défini par (♯(α))(x) = ♯(α(x)). Par exemple, si f est une fonction, alors ♯(df) = X_f est le champ hamiltonien de f.

La restriction de ♯ à T^∗_xM est notée ♯_x. Dans un système de coordonnées (x₁, ..., x_n), on a (23) ♯

, où les Π_ij sont les composantes de Π.

Définition. Soit (M, Π) une variété de Poisson et x un point de M. L'espace C_x ≔ Im ♯_x est appelé l'espace caractéristique de la structure de Poisson Π au point x. La dimension de C_x est appelée le rang de Π au point x. Si le rang de Π en x est égal à la dimension de la variété, on dit que la structure de Poisson est non dégénérée en x. Si le rang de Π est le même en chaque point de M, on dit que Π est une structure de Poisson régulière.

Les structures de Poisson qui sont non dégénérées en chaque point sont exactement celles qui proviennent d'une structure symplectique (cf. chap. 1, Vers la géométrie symplectique).

L'espace caractéristique C_x admet une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée, appelée la forme symplectique induite : si X et Y sont deux vecteurs de C_x, on prend (24) (X, Y) ≔ Π(α, β), où α et β sont deux éléments de T^∗_xM tels que X = ♯(α) et Y = ♯(β).

Un corollaire immédiat est que le rang en chaque point est pair.

Théorème de décomposition locale des variétés de Poisson (théorème de Weinstein). Soit x un point de rang 2s dans la variété de Poisson (M, Π), de dimension m. Soit N une sous-variété de M, passant par le point x, de dimension (m – 2s) et qui est transverse à l'espace caractéristique C_x en x (cela se traduit par T_xM = C_x ⊕ T_xN). Il existe alors un système de coordonnées locales (p₁, ..., p_s, q₁, ..., q_s, z₁, ..., z_m–2s) sur un voisinage de x, qui satisfait les conditions suivantes : – p_i(N_x) = q_i(N_x) = 0 où N_x est un petit voisinage de x dans N ; – {q_i, q_j} = {p_i, p_j} = 0 pour tous i, j ; {p_i, q_i} = 0 si i ≠ j et {p_i, q_i} = 1 pour tout i ; – {z_i, p_j} = {z_i, q_j} = 0 pour tous i, j ; – {z_i, z_j}(x) = 0 pour tous i, j.

Un système de coordonnées locales vérifiant les conditions du théorème précédent est appelé un système de coordonnées canoniques. Dans un tel système on a (25) {f, g} = {f, g}_N + {f, g}_S, où (26)

définit une structure de Poisson non dégénérée sur la sous-variété S = {z₁ = ... = z_m–2s = 0}, et (27) définit une structure de Poisson sur un voisinage de x dans N. Notons que, à cause de la relation {z_i, p_j} = {z_i, q_j} = 0 pour tous i, j, les fonctions {z_i, z_j} ne dépendent pas des variables (p₁, ..., p_s, q₁, ..., q_s). L'égalité {z_i, z_j}(x) = 0 pour tous i, j signifie que le tenseur de Poisson de { , }_N est nul au point x.

On traduit la formule (25) en disant que la variété de Poisson (M, Π) est localement le produit de la variété symplectique

et de la variété de Poisson (N_x, { , }_N) dont le tenseur de Poisson s'annule en x. C'est pour cela que le théorème ci-dessus est appelé le théorème de décomposition locale des variétés de Poisson : au voisinage de tout point fixé, on peut décomposer la structure de Poisson en deux parties – une partie symplectique et une partie singulière de rang nul au point considéré.

Notons que le lemme de Darboux (cf. chap. 1, Vers la géométrie symplectique) est[...]