PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

On appelle pendule un solide pesant soumis à une liaison rotoïde parfaite ou cylindrique par rapport à un repère de référence quelconque (λ), l'axe du rotoïde ne passant pas par le centre d'inertie G de ce solide (S). Depuis Huygens, la notion de pendule a joué un rôle important dans le développement de la mécanique, d'une part dans la définition des durées égales en chronométrie, d'autre part comme exemple d'application des principes de la dynamique. De plus, on a souvent tendance à dénommer pendule un ensemble de solides animés de mouvements vibratoires assez généraux.

Mouvement pendulaire relatif à un repère galiléen

Étudions d'abord le mouvement d'un seul solide relativement à un repère de référence galiléen (g) et supposons que l'axe du rotoïde soit O_gz_g = O_z, faisant avec le plan horizontal du lieu d'expérience un angle β constant (− π/2 < β ≤ π/2). Désignons alors par [O|x_s, y_s, z] un trièdre, lié au solide (S), dont le plan (zOx_s) contient le centre d'inertie G tel que OG = ax_s + cz, avec a > 0 par choix d'orientation de x_s. Si m est la masse de (S) et si l'opérateur d'inertie (I) de (S) en O est représenté dans la base (x_s, y_s, z) par la matrice suivante :

Alors les équations du mouvement de (S) sont, dans le cas très général,

où α = (x_g, x_s) = (y_g, y_s) est mesuré sur z, où (X_A, Y_A, Z_A|L_A, M_A, N_A) sont les composantes sur (x_s, y_s, z) des éléments de réduction en O du torseur de liaison exercé par l'articulation rotoïde (N_A = 0 si cette articulation est parfaite) et où (X, Y, Z|L, M, N) sont les composantes sur (x_s, y_s, z) des éléments de réduction en O du torseur extérieur connu agissant sur (S) ; dans le cas de la pesanteur, s = − mgZ_g où Z_g est le vecteur unitaire de la verticale ascendante, M₀ = OG ∧ s, et donc :

Ainsi, les équations du mouvement sont, dans les hypothèses indiquées :

Au temps t = 0, α et α′ prennent des valeurs α₀ et α′₀ que l'on suppose connues ; dans ces conditions, la fonction α(t) se déduit par intégration de la dernière équation ; on calcule ensuite X_A, Y_A, Z_A, L_A, M_A en fonction du temps à l'aide des cinq équations qui précèdent, et le problème est ainsi résolu dans son ensemble.

L'équation différentielle en α s'écrit, en posant g_e = g . cos β, où le cas β = π/2 (c'est-à-dire z_g vertical) est exclu, et ω² = mg_ea/C, où ω est la pulsation et C le moment d'inertie de (S) par rapport à Oz :

On voit que α″₀ = − ω² sin α₀ ne peut être nul que si α₀ est de sinus nul. Si α′₀ = 0, α₀ = 0 correspond à un équilibre stable et α₀ = π correspond à un équilibre instable. Par intégration, on obtient une équation où les variables se séparent :

ou :

Excluant les cas d'équilibre où α′ ≡ 0, on voit que ε = + 1 ou − 1 (ε étant du signe de α′₀ si α′₀ n'est pas nul et du signe de α₀″ si α′₀ = 0). La fonction t(α) est donnée par une intégrale elliptique.

L'expression cos α − cos α₀ + α′₀²/2 ω² doit être positive ; si α′₀² > 2 ω²(1 + cos α₀), cette expression ne s'annule pour aucune valeur de α, c'est-à-dire que α′ reste du même signe au cours du temps : α varie de manière monotone (croissante ou décroissante) et le solide (S) est animé d'un mouvement révolutif qui n'est pas concerné par cette étude ; si α′₀² < 2ω²(1 + cos α₀), on peut au contraire poser :

et α reste compris entre − α₁ et + α₁ ; la fonction α(t) est alors périodique et de période T telle que :

On voit que la période des oscillations du pendule (S) dépend de l'amplitude α₁ ; on peut, par développement en série, obtenir l'expression suivante de la période :

Dans le cas où α₁ est petit, α reste petit et l'équation régissant les variations de α(t) devient :

Les variations de α sont alors sinusoïdales, et la période est :

Cette formule donne la période à moins de un centième près pour α₁ < π/8. Si l'on veut avoir une meilleure approximation, il faut prendre les deux premiers termes de l'expression de T(α₁) :

et cette formule donne T à moins de un dix-millième près pour α₁ < π/10. Rappelons que, dans ces relations, C est le moment d'inertie de (S) par rapport à l'axe Oz du rotoïde :où ρ_Oz est le rayon de giration de (S) par rapport à Oz et où ρ_Gz est le rayon de giration de (S) par rapport à Gz ; dans ces conditions, la période des petites oscillations s'écrit :avec l = a + (1/a)ρ²_Gz = l(a), dite longueur du pendule simple synchrone de (S).

On remarque que, pour deux axes Oz et O′z situés de part et d'autre de Gz à des distances a e [...]

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