PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

On appelle pendule un solide pesant soumis à une liaison rotoïde parfaite ou cylindrique par rapport à un repère de référence quelconque (λ), l'axe du rotoïde ne passant pas par le centre d'inertie G de ce solide (S). Depuis Huygens, la notion de pendule a joué un rôle important dans le développement de la mécanique, d'une part dans la définition des durées égales en chronométrie, d'autre part comme exemple d'application des principes de la dynamique. De plus, on a souvent tendance à dénommer pendule un ensemble de solides animés de mouvements vibratoires assez généraux.

Mouvement pendulaire relatif à un repère galiléen

Étudions d'abord le mouvement d'un seul solide relativement à un repère de référence galiléen (g) et supposons que l'axe du rotoïde soit Ogzg = Oz, faisant avec le plan horizontal du lieu d'expérience un angle β constant (− π/2 < β ≤ π/2). Désignons alors par [O|xs, ys, z]un trièdre, lié au solide (S), dont le plan (zOxs) contient le centre d'inertie G tel que OG = axs + cz, avec a > 0 par choix d'orientation de xs. Si m est la masse de (S) et si l'opérateur d'inertie (I) de (S) en O est représenté dans la base (xs, ys, z) par la matrice suivante :

Alors les équations du mouvement de (S) sont, dans le cas très général,

où α = (xg, xs) = (yg, ys) est mesuré sur z, où (XA, YA, ZA|LA, MA, NA) sont les composantes sur (xs, ys, z) des éléments de réduction en O du torseur de liaison exercé par l'articulation rotoïde (NA = 0 si cette articulation est parfaite) et où (X, Y, Z|L, M, N) sont les composantes sur (xs, ys, z) des éléments de réduction en O du torseur extérieur connu agissant sur (S) ; dans le cas de la pesanteur, s = − mgZg où Zg est le vecteur unitaire de la verticale ascendante, M0 = OG ∧ s, et donc :

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Ainsi, les équations du mouvement sont, dans les hypothèses indiquées :

Au temps t = 0, α et α′ prennent des valeurs α0 et α′0 que l'on suppose connues ; dans ces conditions, la fonction α(t) se déduit par intégration de la dernière équation ; on calcule ensuite XA, YA, ZA, LA, MA en fonction du temps à l'aide des cinq équations qui précèdent, et le problème est ainsi résolu dans son ensemble.

L'équation différentielle en α s'écrit, en posant ge = g. cos β, où le cas β = π/2 (c'est-à-dire zg vertical) est exclu, et ω2 = mgea/C, où ω est la pulsation et C le moment d'inertie de (S) par rapport à Oz :

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On voit que α″0 = − ω2 sin α0 ne peut être nul que si α0 est de sinus nul. Si α′0 = 0, α0 = 0 correspond à un équilibre stable et α0 = π correspond à un équilibre instable. Par intégration, on obtient une équation où les variables se séparent :

ou :

Excluant les cas d'équilibre où α′ ≡ 0, on voit que ε = + 1 ou − 1 (ε étant du signe de α′0 si α′0 n'est pas nul et du signe de α0″ si α′0 = 0). La fonction t(α) est donnée par une intégrale elliptique.

L'expression cos α − cos α0 + α′02/2 ω2 doit être positive ; si α′02 > 2 ω2(1 + cos α0), cette expression ne s'annule pour aucune valeur de α, c'est-à-dire que α′ reste du même signe au cours du temps : α varie de manière monotone (croissante ou décroissante) et le solide (S) est animé d'un mouvement révolutif qui n'est pas concerné par cette étude ; si α′02 < 2ω2(1 + cos α0), on peut au contraire poser :

et α reste compris entre − α1 et + α1 ; la fonction α(t) est alors périodique et de période T telle que :

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On voit que la période des oscillations du pendule (S) dépend de l'amplitude α1 ; on peut, par développement en série, obtenir l'expression suivante de la période :

Dans le cas où α1 est petit, α reste petit et l'équation régissant les variations de α(t) devient :

Les variations de α sont alors sinusoïdales, et la période est :

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Cette formule donne la période à moins de un centième près pour α1 < π/8. Si l'on veut avoir une meilleure approximation, il faut prendre les deux premiers termes de l'expression de T(α1) :

et cette formule donne T à moins de un dix-millième près pour α1 < π/10. Rappelons que, dans ces relations, C est le moment d'inertie de (S) par rapport à l'axe Oz du rotoïde :
où ρOz est le rayon de giration de (S) par rapport à Oz et où ρGz est le rayon de giration de (S) par rapport à Gz ; dans ces conditions, la période des petites oscillations s'écrit :
avec l = a + (1/a)ρ2Gz = l(a), dite longueur du pendule simple synchrone de (S).

Oscillations synchrones - crédits : Encyclopædia Universalis France

Oscillations synchrones

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On remarque que, pour deux axes Oz et O′z situés de part et d'autre de Gz à des distances a et a′ liées par aa′ = ρ2Gz, on a :

c'est-à-dire que (S) oscillera avec la même période si l'axe du rotoïde est Oz ou O′z.

La relation de conjugaison entre les axes Oz et O′z apparaît encore lorsqu'un pendule subit un choc, c'est-à-dire lorsque α′(t) est discontinue et passe brusquement de la valeur α′1 à la valeur α′2 ; les équations régissant le choc sont :

où (πXA, πYA, πZALA, πMA, πNA) sont les composantes sur (xs, ys, z) des éléments de réduction en O du torseur de percussion exercé par l'articulation rotoïde au cours du choc (πNA = 0 si l'articulation rotoïde est parfaite) ; (πX, πY, πZL, πM, πN) sont les composantes sur (xs, ys, z) des éléments de réduction en O du torseur de percussion connu agissant sur (S).

Si l'on cherche les conditions que doit satisfaire le torseur {π} de percussion connu pour que le torseur de percussion exercé par l'articulation soit nul (ce qui signifie que le torseur de liaison a des éléments de réduction qui restent finis au cours du choc), on trouve :

c'est-à-dire que s{π} = πY . ys est orthogonal au plan contenant G et l'axe du rotoïde. Dans l'hypothèse où le torseur {π} est un torseur vecteur dont l'axe perce le plan (G, Oz) en I, on a :
donc :
mesuré sur z.

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On dit alors que I est le centre de percussion.

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Oscillations synchrones - crédits : Encyclopædia Universalis France

Oscillations synchrones

Pendule d'Euler - crédits : Encyclopædia Universalis France

Pendule d'Euler

Pendule double - crédits : Encyclopædia Universalis France

Pendule double

Autres références

  • CHAOS, physique

    • Écrit par et
    • 3 389 mots
    • 6 médias
    ...cet espace est le lieu des points correspondant aux valeurs prises par les variables à chaque instant. Ainsi l'espace des phases relatif au mouvement du pendule est un plan dont les coordonnées (variables) sont la position et la vitesse et dans lequel la trajectoire dynamique est une boucle fermée.
  • FOUCAULT LÉON (1819-1868)

    • Écrit par
    • 991 mots
    • 1 média

    Léon Foucault, physicien français, a mis son sens pratique et son ingéniosité au service de la physique expérimentale notamment dans les domaines de l’optique, de la mécanique et de l’électrodynamique. Son nom, qui figure parmi les soixante-douze inscrits sur la tour Eiffel, est notamment associé...

  • GRAVIMÉTRIE

    • Écrit par
    • 6 130 mots
    • 2 médias
    La théorie newtonienne de la gravitation prévoyant des variations de l'intensité de la pesanteur selon les lieux, l'observation du pendule apparaissait comme la manière la plus simple de les mettre en évidence.
  • HORLOGERIE

    • Écrit par et
    • 7 802 mots
    • 18 médias
    Les solutions trouvées pour réduire l'influence des facteurs extérieurs diffèrent selon qu'il s'agit du pendule ou du système balancier-spiral.
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Voir aussi