PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

Étudions d'abord le mouvement d'un seul solide relativement à un repère de référence galiléen (g) et supposons que l'axe du rotoïde soit O_gz_g = O_z, faisant avec le plan horizontal du lieu d'expérience un angle β constant (− π/2 < β ≤ π/2). Désignons alors par [O|x_s, y_s, z] un trièdre, lié au solide (S), dont le plan (zOx_s) contient le centre d'inertie G tel que OG = ax_s + cz, avec a > 0 par choix d'orientation de x_s. Si m est la masse de (S) et si l'opérateur d'inertie (I) de (S) en O est représenté dans la base (x_s, y_s, z) par la matrice suivante :

Alors les équations du mouvement de (S) sont, dans le cas très général,

où α = (x_g, x_s) = (y_g, y_s) est mesuré sur z, où (X_A, Y_A, Z_A|L_A, M_A, N_A) sont les composantes sur (x_s, y_s, z) des éléments de réduction en O du torseur de liaison exercé par l'articulation rotoïde (N_A = 0 si cette articulation est parfaite) et où (X, Y, Z|L, M, N) sont les composantes sur (x_s, y_s, z) des éléments de réduction en O du torseur extérieur connu agissant sur (S) ; dans le cas de la pesanteur, s = − mgZ_g où Z_g est le vecteur unitaire de la verticale ascendante, M₀ = OG ∧ s, et donc :

Ainsi, les équations du mouvement sont, dans les hypothèses indiquées :

Au temps t = 0, α et α′ prennent des valeurs α₀ et α′₀ que l'on suppose connues ; dans ces conditions, la fonction α(t) se déduit par intégration de la dernière équation ; on calcule ensuite X_A, [...]