PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

On appelle pendule un solide pesant soumis à une liaison rotoïde parfaite ou cylindrique par rapport à un repère de référence quelconque (λ), l'axe du rotoïde ne passant pas par le centre d'inertie G de ce solide (S). Depuis Huygens, la notion de pendule a joué un rôle important dans le développement de la mécanique, d'une part dans la définition des durées égales en chronométrie, d'autre part comme exemple d'application des principes de la dynamique. De plus, on a souvent tendance à dénommer pendule un ensemble de solides animés de mouvements vibratoires assez généraux.

Mouvement pendulaire relatif à un repère galiléen

Étudions d'abord le mouvement d'un seul solide relativement à un repère de référence galiléen (g) et supposons que l'axe du rotoïde soit O_gz_g = O_z, faisant avec le plan horizontal du lieu d'expérience un angle β constant (− π/2 < β ≤ π/2). Désignons alors par [O|x_s, y_s, z]un trièdre, lié au solide (S), dont le plan (zOx_s) contient le centre d'inertie G tel que OG = ax_s + cz, avec a > 0 par choix d'orientation de x_s. Si m est la masse de (S) et si l'opérateur d'inertie (I) de (S) en O est représenté dans la base (x_s, y_s, z) par la matrice suivante :

Alors les équations du mouvement de (S) sont, dans le cas très général,

Ainsi, les équations du mouvement sont, dans les hypothèses indiquées :

Au temps t = 0, α et α′ prennent des valeurs α₀ et α′₀ que l'on suppose connues ; dans ces conditions, la fonction α(t) se déduit par intégration de la dernière équation ; on calcule ensuite X_A, Y_A, Z_A, L_A, M_A en fonction du temps à l'aide des cinq équations qui précèdent, et le problème est ainsi résolu dans son ensemble.

L'équation différentielle en α s'écrit, en posant g_e = g . cos β, où le cas β = π/2 (c'est-à-dire z_g vertical) est exclu, et ω² = mg_ea/C, où ω est la pulsation et C le moment d'inertie de (S) par rapport à Oz :

On voit que α″₀ = − ω² sin α₀ ne peut être nul que si α₀ est de sinus nul. Si α′₀ = 0, α₀ = 0 correspond à un équilibre stable et α₀ = π correspond à un équilibre instable. Par intégration, on obtient une équation où les variables se séparent :

Excluant les cas d'équilibre où α′ ≡ 0, on voit que ε = + 1 ou − 1 (ε étant du signe de α′₀ si α′₀ n'est pas nul et du signe de α₀″ si α′₀ = 0). La fonction t(α) est donnée par une intégrale elliptique.

L'expression cos α − cos α₀ + α′₀²/2 ω² doit être positive ; si α′₀² > 2 ω²(1 + cos α₀), cette expression ne s'annule pour aucune valeur de α, c'est-à-dire que α′ reste du même signe au cours du temps : α varie de manière monotone (croissante ou décroissante) et le solide (S) est animé d'un mouvement révolutif qui n'est pas concerné par cette étude ; si α′₀² < 2ω²(1 + cos α₀), on peut au contraire poser :

On voit que la période des oscillations du pendule (S) dépend de l'amplitude α₁ ; on peut, par développement en série, obtenir l'expression suivante de la période :

Dans le cas où α₁ est petit, α reste petit et l'équation régissant les variations de α(t) devient :

Les variations de α sont alors sinusoïdales, et la période est :

Cette formule donne la période à moins de un centième près pour α₁ < π/8. Si l'on veut avoir une meilleure approximation, il faut prendre les deux premiers termes de l'expression de T(α₁) :

On remarque que, pour deux axes Oz et O′z situés de part et d'autre de Gz à des distances a et a′ liées par aa′ = ρ²_Gz, on a :

La relation de conjugaison entre les axes Oz et O′z apparaît encore lorsqu'un pendule subit un choc, c'est-à-dire lorsque α′(t) est discontinue et passe brusquement de la valeur α′₁ à la valeur α′₂ ; les équations régissant le choc sont :

Si l'on cherche les conditions que doit satisfaire le torseur {π} de percussion connu pour que le torseur de percussion exercé par l'articulation soit nul (ce qui signifie que le torseur de liaison a des éléments de réduction qui restent finis au cours du choc), on trouve :

On dit alors que I est le centre de percussion.