PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

On appelle pendule un solide pesant soumis à une liaison rotoïde parfaite ou cylindrique par rapport à un repère de référence quelconque (λ), l'axe du rotoïde ne passant pas par le centre d'inertie G de ce solide (S). Depuis Huygens, la notion de pendule a joué un rôle important dans le développement de la mécanique, d'une part dans la définition des durées égales en chronométrie, d'autre part comme exemple d'application des principes de la dynamique. De plus, on a souvent tendance à dénommer pendule un ensemble de solides animés de mouvements vibratoires assez généraux.

Mouvement pendulaire relatif à un repère galiléen

Étudions d'abord le mouvement d'un seul solide relativement à un repère de référence galiléen (g) et supposons que l'axe du rotoïde soit O_gz_g = O_z, faisant avec le plan horizontal du lieu d'expérience un angle β constant (− π/2 < β ≤ π/2). Désignons alors par [O|x_s, y_s, z] un trièdre, lié au solide (S), dont le plan (zOx_s) contient le centre d'inertie G tel que OG = ax_s + cz, avec a > 0 par choix d'orientation de x_s. Si m est la masse de (S) et si l'opérateur d'inertie (I) de (S) en O est représenté dans la base (x_s, y_s, z) par la matrice suivante :

Alors les équations du mouvement de (S) sont, dans le cas très général,

où α = (x_g, x_s) = (y_g, y_s) est mesuré sur z, où (X_A, Y_A, Z_A|L_A, M_A, N_A) sont les composantes sur (x_s, y_s, z) des éléments de réduction en O du torseur de liaison exercé par l'articulation rotoïde (N_A = 0 si cette articulation est parfaite) et où (X, Y, Z|L, M, N) sont les composantes sur (x_s, y_s, z) des éléments de réduction en O du torseur extérieur connu agissant sur (S) ; dans le cas de la pesanteur, s = − mgZ_g où Z_g est le vecteur unitaire de la verticale ascendante, M₀ = OG ∧ s, et donc :

Ainsi, les équations du mouvement sont, dans les hypothèses indiquées :

Au temps t = 0, α et α′ prennent des valeurs α₀ et α′₀ que l'on suppose connues ; dans ces conditions, la fonction α(t) se déduit par intégration de la dernière équation ; on calcule ensuite X_A, [...]

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